Câu 6. Trong một tiết học môn Toán, giáo viên mời ba học sinh $A,B,C$ thực hiện trò chơi như sau: Mỗi bạn $A,B,C$ chọn ngẫu nhiên một số nguyên khác $0$ thuộc khoảng $(-6;6)$ và lần lượt thế vào ba tham số của hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$; nếu đồ thị hàm số thu được có ba điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành thì được nhận thưởng. Tính xác suất để ba học sinh $A,B,C$ được nhận thưởng (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $0.23$.

Mỗi bạn chọn một số trong tập $\{\pm 1;\pm 2;\pm 3;\pm 4;\pm 5\}$ ($10$ phần tử) nên $n(\Omega )=10^3=1000$.
Đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$ có $3$ điểm cực trị khi $ab<0$, và các điểm cực trị là $A(0;c)$, $B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}};c-\frac{b^2}{4a}\right)$, $C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}};c-\frac{b^2}{4a}\right)$.
- **Trường hợp 1:** $a<0,b>0$. Điểm cực tiểu là $A(0;c)$ nên $3$ điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành khi $y_A=c>0$. Có $5\cdot 5\cdot 5=125$ bộ $(a,b,c)$.
- **Trường hợp 2:** $a>0,b<0$. Hai điểm cực tiểu là $B,C$ nên $3$ điểm cực trị đều nằm phía trên trục hoành khi $y_B=c-\frac{b^2}{4a}>0\iff b^2<4ac$ ($c\in \{1;2;3;4;5\}$).
Đếm theo $c\in \{1;2;3;4;5\}$:
+ $c=1$: $b^2<4a$ có $5+4+3+1=13$ cặp $(a,b)$;
+ $c=2$: $b^2<8a$ có $5+5+4+3+2=19$ cặp $(a,b)$;
+ $c=3$: $b^2<12a$ có $5+5+5+4+3=22$ cặp $(a,b)$;
+ $c=4$: $b^2<16a$ có $5+5+5+4+4=23$ cặp $(a,b)$;
+ $c=5$: $b^2<20a$ có $5+5+5+5+4=24$ cặp $(a,b)$.
Tổng cộng Trường hợp 2 có $13+19+22+23+24=101$ bộ $(a,b,c)$.
Xác suất cần tìm là $P=\frac{125+101}{1000}=\frac{226}{1000}=0,226\approx 0,23$.