Câu 8. Cho hai hàm số bậc ba $f(x)=3x^3+a{x}^2+bx+c$ và $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+nx+p$. Hàm số $y=f(x)\cdot g(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng $x=0$ là điểm cực đại của hàm số $y=g(x)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$ bằng


Theo bảng đáp án và lời giải chính thức (Mã đề 2601), Câu 8 (Phần I) chọn đáp án C.

Dựa vào đồ thị, đồ thị hàm số bậc sáu $y=f(x)\cdot g(x)$ tiếp xúc với trục hoành tại $x=-1,x=0,x=2$ và có hệ số cao nhất bằng $3\cdot \frac{1}{3}=1$, nên:
$f(x)\cdot g(x)=x^2(x+1{)}^2(x-2{)}^2$.
Vì $g(x)=\frac{1}{3}{x}^3+m{x}^2+nx+p$ đạt cực đại tại $x=0$ và nhận nghiệm trong $\{-1;0;2\}$ nên $x=0$ phải là nghiệm của $g^{\prime }(x)=x^2+2mx+n$ và $g^{\prime \prime }(0)=2m<0$.
Do $x=0$ vừa là nghiệm của $g(x)$ vừa là nghiệm của $g^{\prime }(x)$ nên $x=0$ là nghiệm kép của $g(x)$:
- Nếu $g(x)=\frac{1}{3}{x}^2(x-2)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{2}{3}{x}^2$ thì $g^{\prime }(x)=x^2-\frac{4}{3}x$ đạt cực đại tại $x=0$ (thỏa mãn).
Khi đó $f(x)=3(x+1{)}^2(x-2)=3(x^3-3x-2)\Rightarrow f^{\prime }(x)=9(x^2-1)=0\iff x=1\in [0;3]$.
Ta có $f(0)=-6$, $f(1)=-12$, $f(3)=48$.
Vậy ${\min }_{[0;3]}f(x)=-12$.