Cho biểu thức $T=3x-2y-4$ với $x$ và $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình: $$\{\begin{array}{l}x-y-1\le 0\\ x+4y+9\ge 0\\ x-2y+3\ge 0\end{array}.$$ Biết $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x=x_0$ và $y=y_0$. Tính $x_0^2+y_0^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các đường thẳng: $x-y=1$, $x+4y=-9$, $x-2y=-3$.

- $x-y=1\cap x+4y=-9$: thay $x=y+1$ được $5y=-10\Rightarrow y=-2,x=-1$. Điểm $(-1;-2)$ thỏa cả ba bất phương trình.
- $x-y=1\cap x-2y=-3$: thay $x=y+1$ được $-y=-4\Rightarrow y=4,x=5$. Điểm $(5;4)$ thỏa cả ba bất phương trình.
- $x+4y=-9\cap x-2y=-3$: trừ hai phương trình được $6y=-6\Rightarrow y=-1,x=-5$. Điểm $(-5;-1)$ thỏa cả ba bất phương trình.

Vì $T=3x-2y-4$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất đạt tại một đỉnh của miền tam giác:
- Tại $(-1;-2)$: $T=-3+4-4=-3$.
- Tại $(5;4)$: $T=15-8-4=3$.
- Tại $(-5;-1)$: $T=-15+2-4=-17$.

Vậy $T$ nhỏ nhất tại $x_0=-5,y_0=-1$, khi đó $x_0^2+y_0^2=25+1=26$.