Cho các số phức $w,z$ thỏa mãn $|w+i|=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ và $5w=(2+i)(z-4)$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=|z-1-2i|+|z-5-2i|$ bằng:

Từ $5w=(2+i)(z-4)\Rightarrow 5(w+i)=(2+i)(z-4)+5i=(2+i)(z-4)+(2+i)(1+2i)=(2+i)(z-3+2i)$. Lấy môđun hai vế: $5|w+i|=|2+i|\cdot |z-3+2i|\Rightarrow 5\cdot \frac{3\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}\cdot |z-(3-2i)|\Rightarrow |z-(3-2i)|=3$. Điểm biểu diễn của $z$ là $M(x;y)$ thuộc đường tròn tâm $I(3;-2)$ bán kính $R=3$. Biểu thức $P=MA+MB$ với $A(1;2)$ và $B(5;2)$. Trung điểm của $AB$ là $J(3;2)$, độ dài $AB=4$. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $(MA+MB{)}^2\le 2(M{A}^2+M{B}^2)=2(2M{J}^2+\frac{A{B}^2}{2})=4M{J}^2+16$. Độ dài $MJ$ lớn nhất khi $M$ ở vị trí xa $J$ nhất trên đường tròn: $M{J}_{\max }=IJ+R=4+3=7$ (vì $I(3;-2),J(3;2)\Rightarrow IJ=4$). Khi đó $P^2\le 4(7^2)+16=4(49)+16=212\Rightarrow P\le \sqrt{212}=2\sqrt{53}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn B.