Cho các số thực $a,b,m,n$ thoả mãn $2m+n<0$ và $\{\begin{array}{l}{\log }_2(a^2+b^2+9)=1+{\log }_2(3a+2b)\\ 9^{-m}\cdot 3^{-n}\cdot 3^{\frac{-4}{2m+n}}+\ln [(2m+n+2{)}^2+1]=81\end{array}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\sqrt{(a-m{)}^2+(b-n{)}^2}$.

Từ phương trình thứ nhất: ${\log }_2(a^2+b^2+9)={\log }_2(6a+4b)\iff a^2+b^2+9=6a+4b\iff (a-3{)}^2+(b-2{)}^2=4$. Do đó điểm $A(a;b)$ thuộc đường tròn tâm $I(3;2)$ bán kính $R=2$. Từ phương trình thứ hai: đặt $t=2m+n<0$. Ta có $3^{-(2m+n)}\cdot 3^{\frac{-4}{2m+n}}+\ln [(t+2{)}^2+1]=81\iff 3^{-t-\frac{4}{t}}+\ln [(t+2{)}^2+1]=81$. Áp dụng BĐT Cauchy: $-t-\frac{4}{t}=(-t)+\left(\frac{4}{-t}\right)\ge 2\sqrt{(-t)\frac{4}{-t}}=4\Rightarrow 3^{-t-\frac{4}{t}}\ge 3^4=81$. Mặt khác $(t+2{)}^2+1\ge 1\Rightarrow \ln [(t+2{)}^2+1]\ge 0$. Do đó vế trái $\ge 81$. Dấu bằng xảy ra khi $-t=\frac{4}{-t}\iff t=-2$. Khi đó $2m+n+2=0$. Điểm $B(m;n)$ thuộc đường thẳng $\Delta :2x+y+2=0$. Khoảng cách từ tâm $I(3;2)$ đến $\Delta$ là $d(I,\Delta )=\frac{|2(3)+2+2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$. Giá trị nhỏ nhất của $P=AB$ là $P_{\min }=d(I,\Delta )-R=2\sqrt{5}-2$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn D.