Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $\left(x^2+y^2+5\right)+{\log }_2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)={\left(\frac{xy}{2}-2\right)}^2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+9y$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s=x+y,t=xy$. Điều kiện trở thành $s^2-2t+5+{\log }_2\frac{s}{t}=\frac{t^2}{4}-2t+4$, tức $s^2+{\log }_2\frac{s}{t}+1=\frac{t^2}{4}$. Đặt $u=\frac{s}{t}$ thì $s^2\left(\frac{1}{4u^2}-1\right)={\log }_{2}u+1$. Vì $s^2\ge 4t>0$ nên vế trái cùng dấu với $1-4u^2$, vế phải cùng dấu với ${\log }_{2}u+1={\log }_2(2u)$. Hai biểu thức $1-4u^2$ và ${\log }_2(2u)$ chỉ cùng dương hoặc cùng âm khi $u=\frac{1}{2}$ (với $u>\frac{1}{2}$: $1-4u^2<0$ nhưng ${\log }_2(2u)>0$, mâu thuẫn; với $u<\frac{1}{2}$: trái dương, phải âm, mâu thuẫn). Vậy bắt buộc $u=\frac{1}{2}$, tức $\frac{xy}{x+y}=2\iff xy=2x+2y\iff \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}$ (kiểm tra lại: khi đó điều kiện thành $x^2+y^2+4=(x+y-2{)}^2$, đúng vì $2xy-4x-4y=0$). Suy ra $y=\frac{2x}{x-2}$ với $x>2$. Khi đó $P=x+9y=x+\frac{18x}{x-2}=x+18+\frac{36}{x-2}=(x-2)+\frac{36}{x-2}+20\ge 12+20=32$, dấu bằng khi $x-2=6\Rightarrow x=8,y=\frac{8}{3}$ (thỏa $xy=\frac{64}{3}=2x+2y$). Vậy $\min P=32$.