Cho một đa giác đều gồm $2n$ đỉnh $(n\ge 2,n\in \mathbb{N})$ . Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số $2n$ đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là $\frac{1}{5}$ . Tìm $n$

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông nội tiếp đa giác đều $2n$ đỉnh phải có cạnh huyền là đường kính đường tròn ngoại tiếp, tức hai đỉnh đối nhau qua tâm: có $n$ cặp đường kính. Mỗi đường kính kết hợp với $2n-2$ đỉnh còn lại cho một tam giác vuông, nên số tam giác vuông là $n(2n-2)$. Tổng số tam giác là $C_{2n}^3=\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6}$. Xác suất: $\frac{n(2n-2)}{C_{2n}^3}=\frac{6n(2n-2)}{2n(2n-1)(2n-2)}=\frac{3}{2n-1}=\frac{1}{5}\Rightarrow 2n-1=15\Rightarrow n=8$. Thử lại: $n=8$, 16 đỉnh, tam giác vuông $=8\cdot 14=112$, tổng $C_{16}^3=560$, $112/560=1/5$ đúng.