Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $AB=a$ và $A{A}^{\prime }=2a$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime },A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BC$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Xét tính đúng, sai của các mệnh đề dưới đây?
a) Khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là $a$.
b) Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(MNP)$ bằng $\frac{\sqrt{201}}{67}$.
c) Thể tích khối tứ diện $AC{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ bằng $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$.
d) Tan của góc giữa đường thẳng $NP$ và mặt phẳng $(ABC)$ là $\frac{1}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0)$, $A^{\prime }=(0,0,2a)$, $B^{\prime }=(a,0,2a)$, $C^{\prime }=(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},2a)$.

a) $B{B}^{\prime }$ có phương $(0,0,1)$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$ có vectơ chỉ phương $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)$. Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=(0,0,1)\times (\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0)=(-\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0)$ (đơn vị). Lấy $\overrightarrow{B{A}^{\prime }}=(-a,0,2a)$: khoảng cách $=|\overrightarrow{B{A}^{\prime }}\cdot \vec{n}|=\frac{\sqrt{3}}{2}a\ne a$. → Sai.

b) $M=(\frac{a}{2},0,2a)$, $N=(\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},2a)$, $P=(\frac{3a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},0)$. $\overrightarrow{MN}=(-\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},0)$, $\overrightarrow{MP}=(\frac{a}{4},\frac{\sqrt{3}a}{4},-2a)$. Pháp tuyến $(MNP)$: $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}\propto (4\sqrt{3},2,\sqrt{3})$, độ dài $\sqrt{55}$. Pháp tuyến $(ABC)=(0,0,1)$. $\cos =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{55}}=\frac{\sqrt{165}}{55}\approx 0,2335\ne \frac{\sqrt{201}}{67}\approx 0,2116$. → Sai.

c) $\overrightarrow{AC}=(\frac{a}{2},\frac{\sqrt{3}a}{2},0)$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(0,0,2a)$, $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(a,0,2a)$. $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(0,2a^2,0)$, tích hỗn hợp $=\sqrt{3}{a}^3$, thể tích $=\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$. → Đúng.

d) $\overrightarrow{NP}=(\frac{a}{2},0,-2a)$, độ dài $=\frac{a\sqrt{17}}{2}$. $\sin \theta =\frac{2a}{a\sqrt{17}/2}=\frac{4}{\sqrt{17}}$, nên $\tan \theta =\frac{2a}{a/2}=4\ne \frac{1}{4}$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa $B{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{2}a$, không phải $a$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Côsin góc giữa $(ABC)$ và $(MNP)$ bằng $\frac{\sqrt{165}}{55}$, không phải $\frac{\sqrt{201}}{67}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thể tích tứ diện $AC{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ bằng $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{6}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan$ góc giữa $NP$ và $(ABC)$ bằng $4$, không phải $\frac{1}{4}$.