Cho tập hợp $A=\{1;2;3;4;5;6;7;8\}$. $B$ là tập tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $A$ có dạng $\overline{abcd}$. $C$ là tập tất cả các số tự nhiên gồm 8 chữ số đôi một khác nhau lấy từ $A$.

(AI giải đề cho tôi)
$|B|=A_8^4=1680$, $|C|=8!=40320$.

a) Số thuộc $B$ có chứa chữ số 3: $A_8^4-A_7^4=1680-840=840$; không chứa 3: $840$. Chọn thứ tự 2 số: $1680\cdot 1679$ cách. Xác suất đúng một số chứa 3: $\frac{2\cdot 840\cdot 840}{1680\cdot 1679}=\frac{840}{1679}\ne \frac{420}{1679}$ → sai.

b) $a<b<c<d$ tức chọn tập con 4 phần tử của $\{1;...;8\}$ viết tăng dần, số lẻ nghĩa là phần tử lớn nhất lẻ. Tổng $C_8^4=70$; phần tử lớn nhất chẵn: $C_1^3+C_3^3+C_5^3+C_7^3=0+1+10+35=46$. Vậy số lẻ: $70-46=24\ne 30$ → sai.

c) Vì $10^4\equiv 1(\mathrm{mod}1111)$, số 8 chữ số chia hết cho 1111 khi hai khối 4 chữ số có tổng chia hết cho 1111. Tổng hai khối trong $[6912;13086]$ và phải chia hết cho 9 (tổng chữ số 36) nên bằng 9999. Khi đó mỗi cột chữ số phải có tổng 9 (không nhớ), tức các cặp $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$. Đếm: $4!\cdot 2^4=384$ số. Xác suất $=\frac{384}{40320}=\frac{1}{105}$ → đúng.

d) Đếm số có 4 chữ số đôi một khác nhau, không có hai chữ số liên tiếp cùng chẵn (4 chẵn, 4 lẻ). Với $k$ chữ số chẵn: $k=0$: $24$; $k=1$: $C_4^1\cdot 4\cdot A_4^3=384$; $k=2$: $C_3^2\cdot A_4^2\cdot A_4^2=432$; $k=3$: 0. Tổng $840$. Xác suất $=\frac{840}{1680}=\frac{1}{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất là $\frac{2\cdot 840\cdot 840}{1680\cdot 1679}=\frac{840}{1679}$, không phải $\frac{420}{1679}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chỉ có $24$ số (phần tử lớn nhất của tập con 4 phần tử phải lẻ: $70-46=24$), không phải 30.
c) (AI giải đề cho tôi)
Có 384 số chia hết cho 1111 (các cột là các cặp $(1,8),(2,7),(3,6),(4,5)$), xác suất $\frac{384}{40320}=\frac{1}{105}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có 840 số thỏa mãn trên tổng 1680 số, xác suất $\frac{1}{2}$.