Cho đa giác đều $(H)$ có 12 đỉnh nội tiếp trong đường tròn. Hỏi có bao nhiêu tam giác tù được tạo thành từ 3 đỉnh được lấy từ 12 đỉnh của $(H)$?

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác 12 đỉnh nội tiếp nên các đỉnh chia đường tròn thành 12 cung nhỏ bằng nhau (mỗi cung 30°). Tổng số tam giác: $C_{12}^3=220$.

Tam giác vuông: có cạnh là đường kính. Có 6 đường kính nối 12 đỉnh, mỗi đường kính kết hợp với 10 đỉnh còn lại cho 1 tam giác vuông: $6\times 10=60$.

Tam giác nhọn: góc nhọn khi và chỉ khi cung bị chặn bởi cạnh đối diện nhỏ hơn nửa đường tròn, tức cả 3 khoảng cách (số cung) giữa ba đỉnh liên tiếp đều $<6$. Đếm số bộ $(a,b,c)$ với $a+b+c=12$, $1\le a,b,c\le 5$: đặt $a^{\prime }=a-1$... tổng $9$, mỗi phần $\le 4$; không giới hạn có $C_{11}^2=55$, trừ các trường hợp một phần $\ge 5$: mỗi phần $C_6^2=15$, cộng lại $55-3\cdot 15=10$ bộ. Mỗi tam giác nhọn được đếm 3 lần (theo đỉnh xuất phát) trên 12 vị trí: số tam giác nhọn $=\frac{10\times 12}{3}=40$.

Vậy tam giác tù: $220-60-40=120$.