Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$, $AB=10$. Biết đường thẳng $BC$ có phương trình $BC:7x-y+31=0$ và trung điểm $I$ của $AB$ thuộc đường thẳng $d_2:x+y+2=0$. Tìm tọa độ $A,C,B$ biết $I$ có tung độ âm.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông cân tại $C$ nên $CA=CB=\frac{AB}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$, $I$ trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Vì $C\in BC$ nên $C=(t;7t+31)$. Vecto chỉ phương của $BC$ là $(1;7)$, $|(1;7)|=5\sqrt{2}$, nên $\overrightarrow{CB}=\pm (1;7)$; vì $CA\perp CB$ và $CA=CB$ nên $\overrightarrow{CA}$ là $\overrightarrow{CB}$ quay $90^{\circ }$. Trung điểm $I=C+\frac{\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}}{2}$.

Trường hợp 1: $\overrightarrow{CB}=(1;7)$, $\overrightarrow{CA}=(7;-1)$: $I=(t+4;7t+34)$. $I\in d_2$: $8t+40=0\Rightarrow t=-5$. Suy ra $C=(-5;-4)$, $B=(-4;3)$, $A=(2;-5)$, $I=(-1;-1)$ có tung độ âm (thỏa mãn).

Trường hợp 2: $\overrightarrow{CB}=(-1;-7)$, $\overrightarrow{CA}=(7;-1)$: $I=(t+3;7t+27)$. $I\in d_2$: $8t+32=0\Rightarrow t=-4$. Suy ra $C=(-4;3)$, $B=(-5;-4)$, $A=(3;2)$, $I=(-1;-1)$ có tung độ âm (thỏa mãn).

Hai trường hợp còn lại (với $\overrightarrow{CA}=(-7;1)$) cho $I_y=\frac{21}{4}>0$ nên bị loại.

Kiểm tra:
- Nghiệm 1: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=7-7=0$, $|CA|=|CB|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $\overrightarrow{BA}=(6;-8)$ nên $AB=10$; $B(-4;3)\in BC$: $-28-3+31=0$; $I=(-1;-1)\in d_2$, tung độ âm. Thỏa mãn.
- Nghiệm 2: $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB}=-7+7=0$, $|CA|=|CB|=5\sqrt{2}$, $\overrightarrow{BA}=(8;-6)$ nên $AB=10$; $B(-5;-4)\in BC$: $-35+4+31=0$; $I=(-1;-1)\in d_2$, tung độ âm. Thỏa mãn.

Vậy có hai đáp số: $A(2;-5),C(-5;-4),B(-4;3)$ hoặc $A(3;2),C(-4;3),B(-5;-4)$.