Cho đường thẳng $d:2x-y+1=0$ và hai điểm $A(-1;2),B(4;0)$.
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $d$.

b) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $d$.

c) Tìm điểm $C$ trên trục $Oy$ sao cho trọng tâm của tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng $d$. Khi đó tính diện tích tam giác $ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Cho $d:2x-y+1=0$, $A(-1;2)$, $B(4;0)$.

a) Khoảng cách từ $A$ đến $d$:
$$d(A,d)=\frac{|2\cdot (-1)-2+1|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$

b) Vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(2;-1)$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $d$:
$$\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=2-t\end{array}$$
Thay vào phương trình $d$: $2(-1+2t)-(2-t)+1=0\Rightarrow -3+5t=0\Rightarrow t=\frac{3}{5}$.
Suy ra hình chiếu $H\left(-1+\frac{6}{5};2-\frac{3}{5}\right)=H\left(\frac{1}{5};\frac{7}{5}\right)$.
Kiểm tra: $2\cdot \frac{1}{5}-\frac{7}{5}+1=0$ ✓.

c) Gọi $C(0;c)$ trên trục $Oy$. Trọng tâm tam giác $ABC$:
$$G\left(\frac{-1+4+0}{3};\frac{2+0+c}{3}\right)=\left(1;\frac{c+2}{3}\right).$$
$G\in d\Rightarrow 2\cdot 1-\frac{c+2}{3}+1=0\Rightarrow 9-(c+2)=0\Rightarrow c=7$.
Vậy $C(0;7)$.

Diện tích tam giác $ABC$ với $A(-1;2)$, $B(4;0)$, $C(0;7)$:
$$S=\frac{1}{2}\left|x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)\right|=\frac{1}{2}\left|(-1)(0-7)+4(7-2)+0\right|=\frac{1}{2}|7+20|=\frac{27}{2}.$$

Kết luận: a) $d(A,d)=\frac{3\sqrt{5}}{5}$; b) $H\left(\frac{1}{5};\frac{7}{5}\right)$; c) $C(0;7)$, $S_{ABC}=\frac{27}{2}$.