Cho hai hàm số $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-(m+1)x^2+(3m^2+4m+5)x+2021$ và $g(x)=(m^2+2m+5)x^3-(2m^2+4m+9)x^2-3x+2$ (với $m$ là tham số). Hỏi phương trình $g(f(x))=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Chọn D.
Xét phương trình $g(t)=0$:
$(m^2+2m+5)t^3-(2m^2+4m+9)t^2-3t+2=0$.
Phân tích nhân tử:
$(m^2+2m+5)t^2(t-2)+t^2-3t+2=0\iff (m^2+2m+5)t^2(t-2)+(t-1)(t-2)=0$
$\iff (t-2)\left[(m^2+2m+5)t^2+t-1\right]=0$.
Xét phương trình bậc hai $h(t)=(m^2+2m+5)t^2+t-1=0$:
Vì $m^2+2m+5=(m+1{)}^2+4\ge 4>0$ và hệ số tự do $c=-1<0$ nên tích $a\cdot c<0$.
Do đó $h(t)=0$ luôn có 2 nghiệm thực phân biệt $t_1<0<t_2$.
Ta kiểm tra $t=2$: $h(2)=4(m^2+2m+5)+2-1=4(m^2+2m+5)+1>0$, suy ra $t=2$ không trùng với $t_1,t_2$.
Vậy phương trình $g(t)=0$ luôn có đúng 3 nghiệm thực phân biệt $t_1,t_2,t_3=2$.
Bây giờ xét hàm số $f(x)$:
$f^{\prime }(x)=x^2-2(m+1)x+(3m^2+4m+5)$.
Biệt thức ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(3m^2+4m+5)=m^2+2m+1-3m^2-4m-5=-2m^2-2m-4=-2(m^2+m+2)<0,\forall m$.
Vì ${\Delta }^{\prime }<0$ và hệ số $a=1>0$ nên $f^{\prime }(x)>0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và có tập giá trị là $(-\infty ;+\infty )$.
Vì vậy, với mỗi giá trị thực $t_i$, phương trình $f(x)=t_i$ có đúng 1 nghiệm thực duy nhất.
Vì có 3 giá trị $t_1,t_2,t_3$ phân biệt nên phương trình $g(f(x))=0$ có đúng 3 nghiệm thực phân biệt.