Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng $(AFD)\parallel (BEC)$;

b) Gọi M là trọng tâm tam giác $ABE$ và N là điểm thuộc đoạn $AC$ sao cho $AN=2NC$. Chứng minh $MN\parallel (BEC)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $DC\parallel AB$ và $DC=AB$. Vì $ABEF$ là hình bình hành nên $FE\parallel AB$ và $FE=AB$. Suy ra $DC\parallel FE$ và $DC=FE$, do đó tứ giác $DCEF$ là hình bình hành (hai cạnh đối $DC$, $FE$ song song và bằng nhau), suy ra $DF\parallel CE$. Vì $CE\subset (BEC)$ và $DF\not\subset (BEC)$ nên $DF\parallel (BEC)$. Tương tự, $AF\parallel BE$ (hình bình hành $ABEF$) với $BE\subset (BEC)$, $AF\not\subset (BEC)$ nên $AF\parallel (BEC)$. Hai đường thẳng $AF$ và $DF$ cắt nhau tại $F$, cùng nằm trong mặt phẳng $(AFD)$ và không trùng nhau. Theo định lí về hai mặt phẳng song song, ta có $(AFD)\parallel (BEC)$.

b) Gọi $I$ là trung điểm của $BE$. Vì $M$ là trọng tâm tam giác $ABE$ nên $M$ thuộc trung tuyến $AI$ và $\frac{AM}{AI}=\frac{2}{3}$. Vì $N$ thuộc đoạn $AC$ với $AN=2NC$ nên $\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$. Xét tam giác $AIC$: do $\frac{AM}{AI}=\frac{AN}{AC}=\frac{2}{3}$, theo định lí Thales (đảo) suy ra $MN\parallel CI$. Vì $CI\subset (BEC)$ và $M\notin (BEC)$ (do $M$ thuộc mặt phẳng $(ABE)$, mà $(ABE)\cap (BEC)=BE$ và $M$ không thuộc $BE$), nên $MN\parallel (BEC)$.