Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $f(5)=1$ và ${\int }_0^{1}xf(5x)dx=1$. Tính ${\int }_0^5{x}^2{f}^{\prime }(x)dx$.

Xét $I={\int }_0^{1}xf(5x)dx=1$. Đặt $t=5x\Rightarrow x=\frac{t}{5},dx=\frac{dt}{5}$. Khi $x=0\Rightarrow t=0$; khi $x=1\Rightarrow t=5$. Ta có:
$I={\int }_0^5\frac{t}{5}f(t)\frac{dt}{5}=\frac{1}{25}{\int }_0^{5}tf(t)dt=1\Rightarrow {\int }_0^{5}xf(x)dx=25$.
Áp dụng phương pháp tích phân từng phần để tính $J={\int }_0^5{x}^2{f}^{\prime }(x)dx$: đặt $u=x^2\Rightarrow du=2xdx$ và $dv=f^{\prime }(x)dx\Rightarrow v=f(x)$. Khi đó:
$J=[x^{2}f(x){]}_0^5-2{\int }_0^{5}xf(x)dx=25f(5)-2\cdot 25=25(1)-50=-25$.


Chọn đáp án A.