Cho hàm số $f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ



Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $g(x)=f(2x^2-x)+6x^2-3x$ trên nửa khoảng $[1;+\infty )$?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2x^2-x$. Với $x\ge 1$ thì $t=2x^2-x\ge 1$ và $t$ tăng liên tục trên $[1;+\infty )$. Ta có $$g^{\prime }(x)=f^{\prime }(2x^2-x)(4x-1)+12x-3=(4x-1)[f^{\prime }(2x^2-x)+3].$$ Theo đồ thị, trên $[1;+\infty )$ ta có $f^{\prime }(t)\ge -3$ (giá trị nhỏ nhất $f^{\prime }=-3$ đạt tại $t=2$), nên $f^{\prime }(2x^2-x)+3\ge 0$. Mặt khác $4x-1>0$ với $x\ge 1$, do đó $g^{\prime }(x)\ge 0$ trên $[1;+\infty )$: hàm $g$ đồng bộ (không giảm) trên nửa khoảng này. Vậy $\min g=g(1)=f(2-1)+6-3=f(1)+3$. Khớp đáp án nguồn (mã 121, câu 1: C).