Họ các nguyên hàm của hàm số $f(x)=2^{x-1}+\frac{1}{2x}$ là

Một nhà kho được minh họa như hình bên, trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét), Biết nhà kho có chiều cao bằng $9m$, hai mái $EFIK,HGIK$ là hai hình chữ nhật có kích thước bằng nhau, các bức tường tạo thành hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$, $AB=10m$, $AD=24m$, $AE=7m$. Khi đó côsin của góc dốc mái nhà (góc $\widehat{IFG}$) bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình hình thoi tâm $O$ cạnh $a\sqrt{2}$ và $\widehat{BAD}=60^{\circ }$. Tính góc giữa đường thẳng $SO$ và mặt phẳng $(ABCD)$ biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=\frac{3a\sqrt{2}}{2}$.

Trong không gian $Oxyz$, cho hai véc tơ $\vec{a}=(3;-2;1)$ và $\vec{b}=(2;1;-1)$. Biết rằng $\vec{u}=m\vec{a}-3\vec{b}$ và $\vec{v}=3\vec{a}+m\vec{b}$ $(m\in \mathbb{R})$. Giá trị của $m$ để hai véc tơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\{\begin{array}{ll}x+4& \text{khi }x<0\\ -x+4& \text{khi }0\le x\le 1\\ -x^2+4x& \text{khi }x>1\end{array}$ và trục hoành.

Cho tập hợp $S=\{1;2;3;...;100\}$ gồm 100 số nguyên dương đầu tiên. Chọn ngẫu nhiên 4 số trong $S$, tính xác suất để 4 số chọn được có thể tạo thành cấp số nhân có công bội nguyên dương.

Bác Hải gửi 300 triệu vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn 1 năm với lãi suất $5\%$/năm. Số tiền lãi bác Hải nhận được sau 10 năm gửi gần nhất với giá trị nào dưới đây?

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$, từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$, từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$. Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(-2;3;1)$ và $B(5;6;2)$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(Oxz)$ tại điểm $M$. Tính tỉ số $\frac{AM}{BM}$.

Xét các số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn ${\log }_{\sqrt{5}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $m$, $M$ lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=f(x)$ trên đoạn $[-2;2]$. Giá trị của $m+M$ là

Một vùng đất hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=25km$, $BC=20km$ và $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$. Một người cưỡi ngựa xuất phát từ $A$ đi đến $C$ bằng cách đi thẳng từ $A$ đến một điểm $X$ thuộc đoạn $MN$ rồi lại đi thẳng từ $X$ đến $C$. Vận tốc của ngựa khi đi trên phần $ABNM$ là $15km/h$, vận tốc của ngựa khi đi trên phần $MNCD$ là $30km/h$. Thời gian ít nhất để ngựa di chuyển từ $A$ đến $C$ là mấy giờ?

Trong không gian $Oxyz$ cho $A(1;-1;2)$, $B(-2;0;3)$, $C(0;1;-2)$. Gọi $M(a;b;c)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oxy)$ sao cho biểu thức $S=\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{MA}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó $T=36a+12b+c$ có giá trị là

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)\left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^x\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$

Diện tích $S$ của hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi các đường cong $y=-x^3+12x$ và $y=-x^2$ bằng

Cho đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)=x^3-3x+2$ có dạng như hình vẽ bên dưới. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành.

Cho hàm số $f(x)$ là hàm số bậc ba có bảng biến thiên như sau:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(-1;2;5)$ và $B(3;-1;2)$.

Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$; $BC=2a$; $\widehat{ABC}=30^{\circ }$. Cạnh bên của lăng trụ bằng $2a\sqrt{3}$.

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị $(C)$ và bảng biến thiên như hình vẽ.

Bảng biến thiên:



Phương trình $\left|f(x+1)\right|=a$ với $a\in (1;3]$ có bao nhiêu nghiệm lớn hơn $-1$?

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;3)$, $B(4;1;-1)$. Gọi $M(x_0;y_0;z_0)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(Oyz)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2-2\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}+{\left(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}\right)}^2=26$ và $MA.MB$ đạt giá trị lớn nhất. Biết $y_0>0$. Giá trị $y_0$ bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Tính tổng các nghiệm của phương trình ${\log }_3\frac{4x^2+3}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-2$.

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $f^{\prime }(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình bên dưới.



Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left[f^{\prime }(x)\right]$ bằng bao nhiêu?

Một hoa văn trang trí được tạo ra từ một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình bên. Biết $AB=5\text{cm}$, $OH=4\text{cm}$. Tính diện tích $\left(c{m}^2\right)$ bề mặt hoa văn đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Có 2 bình, mỗi bình đựng 6 viên bi trắng và 5 viên bi đen. Lần lượt lấy ngẫu nhiên ra 1 viên bi từ bình thứ nhất và 1 viên bi từ bình thứ hai. Xác suất để lấy được viên bi ở bình thứ nhất màu trắng và viên bi ở bình thứ hai màu đen bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Câu 1. (2,0 điểm) Tính tích phân sau $I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{x\sin x+(x+1)\cos x}{x\sin x+\cos x}dx$

Câu 2. (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AD$ song song với $BC$, $AB=BC=CD=a$, $AD=2a$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A^{\prime }CD\right)$ và $(ABCD)$ bằng $45^0$.

a) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime }CD\right)$.

b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $A^{\prime }C$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A$.

Câu 3. (1,0 điểm) Một cái ao hình $ABCDE$ (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn có bán kính 10m. Người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ $AB$ của ao đến vườn. Tính gần đúng độ dài tối thiểu $l$ của cây cầu biết: Hai bờ $AE$ và $BC$ nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O$; Bờ $AB$ là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $OA$; Độ dài đoạn $OA$ và $OB$ lần lượt là 40 m và 20 m; Tâm $I$ của mảnh vườn lần lượt cách đường thẳng $AE$ và $BC$ lần lượt là 40 m và 30 m.