Cho đồ thị $(C)$ của hàm số $y=f(x)=x^3-3x+2$ có dạng như hình vẽ bên dưới. Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục hoành.

(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^3-3x+2=(x-1{)}^2(x+2)$, nghiệm $x=-2$ (đơn) và $x=1$ (kép).
a) $F^{\prime }(x)=x^3-3x+2=f(x)$, nên $F$ là một nguyên hàm của $f$. Đúng.
b) ${\int }_{-2}^{0}f(x)dx={\left[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^2}{2}+2x\right]}_{-2}^0=0-(-6)=6$; ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2=\frac{3}{4}$. Vậy $S_1=\frac{3}{4},S_2=6\Rightarrow \frac{S_2}{S_1}=8\ne 5$. Sai.
c) $y=4$ cắt $(C)$: $x^3-3x-2=0\iff (x+1)(x-2)(x+1)...$ thực tế $x^3-3x-2=(x+1{)}^2(x-2)$, cắt tại $x=-1$ (tiếp xúc) và $x=2$. Diện tích $={\int }_{-1}^2(4-f(x))dx={\left[2x+\frac{3x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_{-1}^2=6-\left(-\frac{3}{4}\right)=\frac{27}{4}$. Diện tích $(H)=6+\frac{3}{4}=\frac{27}{4}$. Bằng nhau. Đúng.
d) $d:y=kx+2$ qua $(0,2)$, và $f(0)=2$ nên $x=0$ là một giao điểm. $x^3-3x+2=kx+2\iff x\left(x^2-(k+3)\right)=0$, ba nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{k+3},0$ với $k>-3$. Hiệu $f(x)-(kx+2)=x^3-(k+3)x$ là hàm lẻ, diện tích $=2{\int }_0^a(a^{2}x-x^3)dx=\frac{a^4}{2}$ với $a=\sqrt{k+3}$. $\frac{a^4}{2}=\frac{625}{2}\Rightarrow a=5\Rightarrow k=22$. Khi đó $A(-5;f(-5))=(-5;-108)$, $C(5;112)$, $AC=\sqrt{10^2+220^2}=\sqrt{48500}=10\sqrt{485}\approx 220,2\ne \sqrt{12125}\approx 110,1$. Sai.
Khớp đáp án mã đề 121: a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=x^3-3x+2=f(x)$ nên $F$ là một nguyên hàm của $f$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{[-2,0]}=6$, $S_{[0,1]}=\frac{3}{4}$, nên $\frac{S_2}{S_1}=\frac{6}{3/4}=8\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=4$ cắt $(C)$ tại $x=-1$ (tiếp xúc) và $x=2$; diện tích $={\int }_{-1}^2(4-f(x))dx=\frac{27}{4}$ bằng diện tích $(H)=6+\frac{3}{4}=\frac{27}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích giữa $d$ và $(C)$ là $\frac{a^4}{2}=\frac{625}{2}\Rightarrow a=5$, $k=22$; $A(-5;-108)$, $C(5;112)$, $AC=\sqrt{48500}\ne \sqrt{12125}$.