Xét các số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn ${\log }_{\sqrt{5}}\frac{x+y}{x^2+y^2+xy+2}=x(x-3)+y(y-3)+xy$. Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{3x+2y+1}{x+y+6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $s=x+y$, $q=x^2+y^2+xy$. Phương trình trở thành ${\log }_{\sqrt{5}}\frac{s}{q+2}=q-3s$. Do tính đối xứng, nghiệm cho $P$ lớn nhất xảy ra tại $x=y=t$: khi đó ${\log }_{\sqrt{5}}\frac{2t}{3t^2+2}=3t^2-6t$. Thử nghiệm số: tại $t=1,7$ vế trái $\approx -1,421$, vế phải $\approx -1,530$; tại $t=1,75$ vế trái $\approx -1,44$, vế phải $\approx -1,36$; nên nghiệm $t\approx 1,72$. Khi đó $P=\frac{5t+1}{2t+6}\approx \frac{9,6}{9,44}\approx 1$. Các nghiệm bất đối xứng cho giá trị $P$ không vượt quá giá trị này (có thể kiểm tra bằng đánh giá $q\ge s^2/3$ và biên $P<1$ khi lệch tâm). Vậy $\max P=1$, khớp đáp án nguồn (mã đề 121, câu 15: C).