Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)\left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^x\forall x\in \mathbb{R}$. Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f(x)dx$

(AI giải đề cho tôi)
Từ $f^{\prime }(x)(1+e^{f(x)})=1+e^x$ nhận xét vế trái là đạo hàm của $f(x)+e^{f(x)}$, vế phải là đạo hàm của $x+e^x$. Do đó $f(x)+e^{f(x)}=x+e^x+C$; với $f(0)=0$ suy ra $C=0$. Hàm $g(t)=t+e^t$ có $g^{\prime }(t)=1+e^t>0$ nên đơn ánh, do đó $f(x)=x$ với mọi $x$. Vậy ${\int }_1^{3}f(x)dx={\int }_1^{3}xdx=\frac{9-1}{2}=4$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 19: A).