Cho lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$; $BC=2a$; $\widehat{ABC}=30^{\circ }$. Cạnh bên của lăng trụ bằng $2a\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông tại A, BC=2a, góc B=30° nên AB = 2a·cos30° = a√3, AC = a; cạnh bên AA' = 2a√3.

a) Đúng. AB ⊥ AC, với AB ⊂ (ABB'A'), AC ⊂ (ACC'A') nên hai mặt bên vuông góc.

b) Đúng. Hai mặt (ACC'A') và (BCC'B') cắt đáy theo AC và BC, cạnh CC' ⊥ đáy, nên góc nhị diện [A,CC',B'] bằng góc ACB = 90° − 30° = 60°.

c) Sai. AA' ∥ (BCC'B') nên d(AA',(BCC'B')) = d(A,BC) = chiều cao từ A của tam giác vuông = AB·AC/BC = (a√3·a)/(2a) = a√3/2 ≠ 3a.

Chọn hệ trục A(0;0;0), B(a√3;0;0), C(0;a;0), A'(0;0;2a√3).

d) Đúng. G = trọng tâm tam giác ACA' = (0; a/3; 2a√3/3); M = trung điểm BB' = (a√3;0;a√3); N với CN = 2NC' nên N = (0; a; 4a√3/3). Bốn điểm B, C, N, M cùng thuộc mặt phẳng x + √3y = a√3 (pháp tuyến (1;√3;0), |n| = 2). Diện tích BCNM = S_{BCN} + S_{BMN} = 4a²/√3 + a²√3 = 7a²/√3. Khoảng cách từ G đến mặt phẳng: |0 + √3·a/3 − a√3|/2 = a√3/3. Vậy V = (1/3)·(7a²/√3)·(a√3/3) = 7a³/9. Khớp đáp án mã đề 121: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB ⊥ AC với AB ⊂ (ABB'A'), AC ⊂ (ACC'A') nên hai mặt bên vuông góc.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện [A,CC',B'] bằng góc giữa AC và BC trong đáy: góc ACB = 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách bằng d(A,BC) = AB·AC/BC = a√3/2 ≠ 3a.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ G(0;a/3;2a√3/3), M(a√3;0;a√3), N(0;a;4a√3/3): S_{BCNM} = 7a²/√3, d(G,(BCNM)) = a√3/3, V = 7a³/9.