Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Hàm số $f^{\prime }(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ có đồ thị như hình bên dưới.



Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left[f^{\prime }(x)\right]$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+1)$ có 3 nghiệm đơn $x=-1,0,1$, nên $f$ có 3 cực trị tại các giá trị $f^{\prime }=0$; $f^{\prime }$ đạt cực trị tại $x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ với giá trị $\pm \frac{2}{3\sqrt{3}}$ (cực đại $>0$, cực tiểu $<0$). Xét $y=f[f^{\prime }(x)]$: $y^{\prime }=f^{\prime }[f^{\prime }(x)]\cdot f^{\prime \prime }(x)$. Nghiệm của $y^{\prime }$: (1) $f^{\prime \prime }(x)=3x^2-1=0\Rightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ (2 nghiệm, $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm). (2) $f^{\prime }[f^{\prime }(x)]=0\iff f^{\prime }(x)\in \{-1,0,1\}$: $f^{\prime }(x)=0$ cho 3 nghiệm $x=-1,0,1$; $f^{\prime }(x)=1\iff x^3-x-1=0$ có đúng 1 nghiệm thực (vì max của $x^3-x$ trên $x<0$ là $\frac{2}{3\sqrt{3}}<1$... thực tế phương trình có 1 nghiệm thực do $x^3-x$ có giá trị lớn nhất $\frac{2}{3\sqrt{3}}<1$ không chạm 1); tương tự $f^{\prime }(x)=-1\iff x^3-x+1=0$ có 1 nghiệm thực. Các nghiệm này không trùng $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ vì $f^{\prime }(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})=\pm \frac{2}{3\sqrt{3}}\notin \{-1,0,1\}$, và mỗi nghiệm đều đơn nên $y^{\prime }$ đổi dấu. Vậy tổng số điểm cực trị: $2+5=7$, khớp đáp án 7.