Câu 2. (3,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, $AD$ song song với $BC$, $AB=BC=CD=a$, $AD=2a$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A^{\prime }CD\right)$ và $(ABCD)$ bằng $45^0$.

a) Tính khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left(A^{\prime }CD\right)$.

b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $B$ và vuông góc với đường thẳng $A^{\prime }C$. Mặt phẳng $(P)$ chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A$.

Hướng dẫn chấm (3,0 điểm):

a) (1,5 điểm)



Từ giả thiết ta có $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD$.
Ta có: $\{\begin{array}{l}CD\perp AC\\ CD\perp A{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow CD\perp (A^{\prime }CA)\Rightarrow CD\perp A^{\prime }C$
$\{\begin{array}{l}(A^{\prime }CD)\cap (ABCD)=CD\\ CA\subset (ABCD),CA\perp CD\\ C{A}^{\prime }\subset (A^{\prime }CD),C{A}^{\prime }\perp CD\end{array}\Rightarrow \left(\widehat{(A^{\prime }CD),(ABCD)}\right)=\widehat{(C{A}^{\prime },CA)}$
Từ giả thiết suy ra $\widehat{A^{\prime }CA}=45^0$ [0,5]

Gọi $I$ là trung điểm $AD$, $E$ là giao của $AC$ và $BI$.
$BE\parallel (A^{\prime }CD)\Rightarrow d\left(B,(A^{\prime }CD)\right)=d\left(E,(A^{\prime }CD)\right)$.
Dựng $EF$ vuông góc $A^{\prime }C$, $F\in A^{\prime }C$.
Ta có $\{\begin{array}{l}EF\perp A^{\prime }C\\ EF\perp CD\left(\text{do }CD\perp (A{A}^{\prime }C)\right)\end{array}\Rightarrow EF\perp (A^{\prime }CD)\Rightarrow EF=d\left(E,(A^{\prime }CD)\right)$. [0,5]

Ta có $ABCI$ là hình thoi, $\widehat{ABC}=120^0\Rightarrow AC=a\sqrt{3}$ [0,25]

Tam giác $EFC$ vuông tại $F$ có $\widehat{ECF}=45^0\Rightarrow EF=\frac{CE}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{1}{2}AC}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$
$\Rightarrow d\left(B,(A^{\prime }CD)\right)=\frac{a\sqrt{6}}{4}$. [0,25]

b) (1,5 điểm)

Ta có $\{\begin{array}{l}EF\perp A^{\prime }C\\ BI\perp A^{\prime }C(\text{do }BI\parallel CD)\end{array}\Rightarrow (BIF)\perp A^{\prime }C\Rightarrow (BIF)\equiv (P)$. [0,25]

Trong mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, $EF\cap C{C}^{\prime }=H$ [0,5]

$$\{\begin{array}{l}H\in (P)\cap (CD{C}^{\prime }{D}^{\prime })\\ BI\subset (P),CD\subset (CD{C}^{\prime }{D}^{\prime })\Rightarrow (P)\cap (CD{C}^{\prime }{D}^{\prime })=HG//BI,G\in D{D}^{\prime }\\ BI//CD\end{array}$$

$$(P)\cap (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })=IG$$
$$(P)\cap (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })=BH$$
$$(AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })//(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$$
$$\Rightarrow IG//BH$$

Vậy thiết diện của $(P)$ và hình lăng trụ $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là hình bình hành $BIGH$.

Hình đa diện $BCH.IDG$ có hai mặt $BCH$ và $IDG$ nằm trên hai mặt phẳng song song với nhau, $BI//CD//HG$ nên hình này là hình lăng trụ có hai đáy là hai tam giác $BCH,IDG$.

Dựng $CK\perp AD,K\in AD$. Ta có $$\{\begin{array}{l}CK\perp AD\\ CK\perp A{A}^{\prime }\end{array}\Rightarrow CK\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$$

$AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình chữ nhật có $A{A}^{\prime }=AC=a\sqrt{3}$ nên $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông.

$EF\perp A^{\prime }C\Rightarrow EF//A{C}^{\prime }\Rightarrow H$ là trung điểm $C{C}^{\prime }\Rightarrow G$ là trung điểm $D{D}^{\prime }$.

$$V_{BCH.IDG}=S_{IDG}.CK=\frac{1}{2}ID.DG.CK=\frac{1}{2}a.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^3}{8}.$$

$$V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=S_{ABCD}.A{A}^{\prime }=\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}.a\sqrt{3}=\frac{9a^3}{4}.$$

Suy ra thể tích khối đa diện chứa đỉnh $A$ là $V=V_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}-V_{BCH.IDG}=\frac{15a^3}{8}$.