Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh 1, biết khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $\frac{\sqrt{6}}{4}$, từ $B$ đến $(SCA)$ là $\frac{\sqrt{15}}{10}$, từ $C$ đến $(SAB)$ là $\frac{\sqrt{30}}{20}$ và hình chiếu vuông góc của $S$ xuống đáy nằm trong tam giác $ABC$. Tính thể tích khối chóp $V_{S.ABC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $S=(p,q,h)$, đáy $A(0,0),B(1,0),C(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$. Tính toán trực tiếp cho thấy khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ là $d_A=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{h}{\sqrt{h^2+x_A^2}}$ với $x_A=\mathrm{d}(S,BC)$ (tương tự cyclic cho $B,C$). Từ $d_A^2=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$: $\frac{3h^2}{4(h^2+x_A^2)}=\frac{3}{8}\Rightarrow x_A=h$. Từ $d_B^2=\frac{15}{100}=\frac{3}{20}\Rightarrow x_B=2h$. Từ $d_C^2=\frac{30}{400}=\frac{3}{40}\Rightarrow x_C=3h$. Vì hình chiếu của $S$ nằm trong tam giác đều nên tổng khoảng cách từ nó đến ba cạnh bằng đường cao đáy: $h+2h+3h=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow h=\frac{\sqrt{3}}{12}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{1}{48}$, khớp đáp án B.