Cho hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
a) $y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$ nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ → đúng.
b) $y$ nguyên khi $(x-1)\mid 3$, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho $x\in \{-2,0,2,4\}$ với các điểm $(-2;1),(0;-1),(2;5),(4;3)$ — có 4 điểm chứ không phải 3 → sai.
c) Tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=\frac{2}{1}=2$ (không phải $y=1$) → sai.
d) Diện tích tứ giác $MHOK$ (Hình chữ nhật với $M(x;y)$, $H(x;0)$, $O(0;0)$, $K(0;y)$) là $|xy|=2$. Với $x>0$: $xy=\frac{x(2x+1)}{x-1}=2\iff 2x^2+x=2x-2\iff 2x^2-x+2=0$, có $\Delta =1-16=-15<0$ → vô nghiệm, không có điểm $M$ nào thỏa mãn → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{-3}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y=\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$ nguyên khi $(x-1)\mid 3$, tức $x-1\in \{\pm 1,\pm 3\}$, cho 4 điểm nguyên: $(-2;1),(0;-1),(2;5),(4;3)$, không phải 3 điểm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$ (tỉ số hệ số của tử và mẫu là $2/1=2$), không phải $y=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích tứ giác $MHOK$ là $|xy|=2$. Với $x>0$: $\frac{x(2x+1)}{x-1}=2\iff 2x^2-x+2=0$ có $\Delta =-15<0$, vô nghiệm nên không có điểm $M$ nào thỏa mãn.