Cho hàm số $y=h(x)=f^{\prime }(x)$ là hàm số đa thức bậc ba và có đồ thị như hình sau:



Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $h(x)=f^{\prime }(x)$ là hàm bậc ba, đạt cực đại $3$ tại $x=-1$, cực tiểu $-3$ tại $x=1$, và $h(0)=0$. Suy ra $h(x)=\frac{3}{2}{x}^3-\frac{9}{2}x=\frac{3}{2}x(x^2-3)$ (kiểm tra: $h(\pm 1)=\pm 3$ đúng, nghiệm $x=0,\pm \sqrt{3}$ khớp đồ thị).

a) $g^{\prime }(x)=f^{\prime }(x^3+1)\cdot 3x^2+9x^5+9x^2=3x^2\left[h(x^3+1)+3x^3+3\right]$. Đặt $t=x^3+1\in (0;2)$ khi $x\in (-1;0)$, khi đó $h(t)+3t=\frac{3}{2}{t}^3-\frac{9}{2}t+3t=\frac{3}{2}t(t^2-1)<0$ với $t\in (0;1)$. Với $x\in (-1;0)$ thì $t\in (0;1)$ nên $g^{\prime }(x)<0$: $g$ nghịch biến trên $(-1;0)$. → Đúng.

b) Đặt $u=\cos x\in [-1;1]$, $\phi =\frac{1}{3}\cos 2x-\frac{2}{3}\cos x=\frac{2}{3}{u}^2-\frac{2}{3}u-\frac{1}{3}$, có giá trị nhỏ nhất $-\frac{1}{2}$ (tại $u=\frac{1}{2}$) và giá trị lớn nhất $1$ (tại $u=-1$). Trên $[-\frac{1}{2};1]$, do $h(t)>0$ với $t\in (-\sqrt{3};0)$ và $h(t)<0$ với $t\in (0;\sqrt{3})$ nên $f$ tăng rồi giảm, GTLN của $y$ là $f(0)$. Nhưng $f(0)$ (hằng số nguyên hàm) không xác định được từ đồ thị của $f^{\prime }$ (đề chỉ xét trường hợp $f(0)=0$ ở ý c), nên không thể kết luận GTLN bằng $3$. → Sai.

c) Với $f(0)=0$: $f(x)=\frac{3}{8}{x}^4-\frac{9}{4}{x}^2$, nên $f(x^4)-x^2=\frac{3}{8}{x}^{16}-\frac{9}{4}{x}^8-x^2=x^{2}p(x)$ với $p(x)=\frac{3}{8}{x}^{14}-\frac{9}{4}{x}^6-1$ (hàm chẵn, $p(0)=-1$, $p\to +\infty$). $p^{\prime }(x)=\frac{x^5}{4}(21x^8-54)$, $p$ giảm trên $(0;(18/7{)}^{1/8})$ rồi tăng; tại điểm đó $p<0$, nên $p$ có đúng một nghiệm $r>1$. Vậy $y=|x^{2}p(x)|=0$ tại $x=0,\pm r$. Trên $(0;r)$: $y=-x^{2}p$, $y^{\prime }=0\iff 2p+x{p}^{\prime }=0\iff 3x^{14}-9x^6-1=0$, có đúng một nghiệm $x_e\in (1;r)$ (vì tại đó $3x^{14}=9x^6+1<18x^6+8$ nên $p<0$); đối xứng có $-x_e$. Trên $(r;+\infty )$ phương trình $3x^{14}-9x^6-1=0$ không có nghiệm (nghiệm duy nhất đã nhỏ hơn $r$). Các điểm cực trị: $x=0$ (cực tiểu), $\pm x_e$ (cực đại), $\pm r$ (cực tiểu, do $y\ge 0$ và $y=0$ tại đó). Tổng cộng 5 điểm cực trị. → Đúng.

d) $h(3)=\frac{3}{2}\cdot 3\cdot (9-3)=27\ne 18$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (-1;0)$, $g^{\prime }(x)=3x^2[h(x^3+1)+3x^3+3]=3x^2\cdot \frac{3}{2}t(t^2-1)<0$ với $t=x^3+1\in (0;1)$, nên $g$ nghịch biến.
b) (AI giải đề cho tôi)
Biểu thức trong $f$ có giá trị thuộc $[-1/2;1]$; trên đoạn này GTLN của $f$ là $f(0)$, nhưng $f(0)$ không xác định từ đồ thị $h=f^{\prime }$, nên không thể khẳng định GTLN bằng 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)=0$, $y=\left|x^2\left(\frac{3}{8}{x}^{14}-\frac{9}{4}{x}^6-1\right)\right|$ có 5 điểm cực trị: $x=0$, $\pm x_e$ (nghiệm của $3x^{14}-9x^6-1=0$) và $\pm r$ (nghiệm của $p(x)=0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$h(x)=\frac{3}{2}x(x^2-3)$ nên $h(3)=\frac{3}{2}\cdot 3\cdot 6=27\ne 18$.