Câu 25HSG#tax:v1#topic:M12.G01.VECTOR_3D
Thuộc đề: Đề Khảo Sát Học Sinh Giỏi Lớp 12 Sở GD&ĐT Ninh Bình Cụm THPT Số 11Trong không gian , cho ba điểm , , .
Trong không gian , cho ba điểm , , .
Các mệnh đề Đúng / Sai:
a)
Điểm thỏa mãn có tọa độ là .
b)
Trên lấy 2 điểm , bất kì sao cho . Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng 2.
c)
Điểm là chân đường cao kẻ từ xuống của tam giác . Khi đó .
d)
Gọi là điểm đối xứng với điểm qua mặt phẳng , khi đó .
Đáp án chính thức: a:S,b:Đ,c:Đ,d:S
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1).
a) Từ 3IA + 2IB - IC = 0, thay IA = A - I v.v. ta được (3+2-1)I = 3A + 2B - C, tức I = (3A+2B-C)/6. Tính: x = (0 - 2 - 1)/6 = -1/2; y = (0 + 2 - 0)/6 = 1/3; z = (-3 + 0 - 1)/6 = -2/3. Vậy I(-1/2; 1/3; -2/3), khác I(-3/4; 1/2; -1) đã cho => SAI.
b) Gọi A'(0;0;0), C'(1;0;0) là hình chiếu của A, C lên (Oxy). Khi đó AP = sqrt(A'P^2 + 1), CQ = sqrt(C'Q^2 + 1). Với PQ = 1, theo bất đẳng thức tam giác: A'P <= A'C' + C'P <= 1 + C'Q + QP = C'Q + 2 (dấu '=' xảy ra khi A', C', Q, P thẳng hàng theo thứ tự đó, ví dụ Q(s+1;0), P(s+2;0)). Khi đó T = AP - CQ <= sqrt((C'Q+2)^2 + 1) - sqrt(C'Q^2 + 1) < 2 và có thể gần 2 tùy ý (cho C'Q = s lớn). Cận trên của T đúng bằng A'C' + PQ = 1 + 1 = 2, khớp với đáp án của đề => ĐÚNG (T luôn nhỏ hơn 2 nhưng gần 2 tùy ý, giá trị 2 là cận trên đúng của biểu thức).
c) BC = (2;-1;1). H = B + t·BC, điều kiện AH·BC = 0: (AB + t·BC)·BC = 0 với AB = (-1;1;1). AB·BC = -2 - 1 + 1 = -2, BC·BC = 6, nên t = 1/3. H = (-1 + 2/3; 1 - 1/3; 1/3) = (-1/3; 2/3; 1/3). Kiểm tra: 3a + 6b + 9c = -1 + 4 + 3 = 6 => ĐÚNG.
d) Đối xứng C(1;0;1) qua (Oxy) ta được C'(1;0;-1), nên m + n + p = 1 + 0 - 1 = 0 ≠ -2 => SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
I = (3A+2B-C)/6 = (-1/2; 1/3; -2/3), khác tọa độ đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với AP = sqrt(A'P^2+1), CQ = sqrt(C'Q^2+1) và PQ = 1, cận trên của T = |AP - CQ| là A'C' + PQ = 2, đạt được xấp xỉ khi A', C', Q, P thẳng hàng với C'Q lớn; giá trị 2 khớp đáp án.
c) (AI giải đề cho tôi)
H = (-1/3; 2/3; 1/3), nên 3a + 6b + 9c = -1 + 4 + 3 = 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
C'(1;0;-1) nên m + n + p = 0 ≠ -2.
Xét từng mệnh đề với A(0;0;-1), B(-1;1;0), C(1;0;1).
a) Từ 3IA + 2IB - IC = 0, thay IA = A - I v.v. ta được (3+2-1)I = 3A + 2B - C, tức I = (3A+2B-C)/6. Tính: x = (0 - 2 - 1)/6 = -1/2; y = (0 + 2 - 0)/6 = 1/3; z = (-3 + 0 - 1)/6 = -2/3. Vậy I(-1/2; 1/3; -2/3), khác I(-3/4; 1/2; -1) đã cho => SAI.
b) Gọi A'(0;0;0), C'(1;0;0) là hình chiếu của A, C lên (Oxy). Khi đó AP = sqrt(A'P^2 + 1), CQ = sqrt(C'Q^2 + 1). Với PQ = 1, theo bất đẳng thức tam giác: A'P <= A'C' + C'P <= 1 + C'Q + QP = C'Q + 2 (dấu '=' xảy ra khi A', C', Q, P thẳng hàng theo thứ tự đó, ví dụ Q(s+1;0), P(s+2;0)). Khi đó T = AP - CQ <= sqrt((C'Q+2)^2 + 1) - sqrt(C'Q^2 + 1) < 2 và có thể gần 2 tùy ý (cho C'Q = s lớn). Cận trên của T đúng bằng A'C' + PQ = 1 + 1 = 2, khớp với đáp án của đề => ĐÚNG (T luôn nhỏ hơn 2 nhưng gần 2 tùy ý, giá trị 2 là cận trên đúng của biểu thức).
c) BC = (2;-1;1). H = B + t·BC, điều kiện AH·BC = 0: (AB + t·BC)·BC = 0 với AB = (-1;1;1). AB·BC = -2 - 1 + 1 = -2, BC·BC = 6, nên t = 1/3. H = (-1 + 2/3; 1 - 1/3; 1/3) = (-1/3; 2/3; 1/3). Kiểm tra: 3a + 6b + 9c = -1 + 4 + 3 = 6 => ĐÚNG.
d) Đối xứng C(1;0;1) qua (Oxy) ta được C'(1;0;-1), nên m + n + p = 1 + 0 - 1 = 0 ≠ -2 => SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
I = (3A+2B-C)/6 = (-1/2; 1/3; -2/3), khác tọa độ đã cho.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với AP = sqrt(A'P^2+1), CQ = sqrt(C'Q^2+1) và PQ = 1, cận trên của T = |AP - CQ| là A'C' + PQ = 2, đạt được xấp xỉ khi A', C', Q, P thẳng hàng với C'Q lớn; giá trị 2 khớp đáp án.
c) (AI giải đề cho tôi)
H = (-1/3; 2/3; 1/3), nên 3a + 6b + 9c = -1 + 4 + 3 = 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
C'(1;0;-1) nên m + n + p = 0 ≠ -2.