Xét một bảng ô vuông 4x4 như hình vẽ. Người ta điền vào mỗi ô vuông đó hai số 1 hoặc -1. Sao cho tổng các số trong mỗi hàng hoặc mỗi cột đều bằng không. Hỏi có bao nhiêu cách?

(AI giải đề cho tôi)
Hình lưới 4×4 thực tế có ở trang 6 (ngay trên Câu 29), nên token khớp với hình được cung cấp; không còn thiếu hình.

Mỗi hàng có tổng bằng 0 nên chứa đúng hai số 1 và hai số -1; tương tự mỗi cột chứa đúng hai số 1 và hai số -1. Quy đổi: ô chứa 1 là ô được chọn, ta cần đếm số ma trận 4×4 gồm 0/1 với tổng mỗi hàng và mỗi cột đều bằng 2.

Ma trận tương ứng một đồ thị hai phía 2-chính quy giữa 4 đỉnh hàng và 4 đỉnh cột (hàng $i$ nối cột $j$ iff $a_{ij}=1$). Đồ thị 2-chính quy là hợp các chu trình, nên chỉ có hai dạng:

Dạng 1 — Hai chu trình con độ dài 4 (tách nhau): tập 4 hàng chia thành hai cặp, tập 4 cột chia thành hai cặp, mỗi cặp hàng nối đủ cạnh ($K_{2,2}$) với đúng một cặp cột. Số cách chia 4 hàng thành hai cặp: $\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)}{2}=3$; chia 4 cột: $3$; ghép cặp hàng với cặp cột: $2$ cách. Tổng: $3\cdot 3\cdot 2=18$ ma trận.

Dạng 2 — Một chu trình duy nhất độ dài 8: số chu trình độ dài $2k$ trong $K_{m,n}$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)\frac{k!(k-1)!}{2}$. Với $m=n=4,k=4$: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)\cdot \frac{4!\cdot 3!}{2}=\frac{24\cdot 6}{2}=72$ chu trình, và mỗi chu trình như vậy xác định duy nhất một ma trận (mỗi hàng bậc 2, mỗi cột bậc 2), cho $72$ ma trận.

Tổng cộng: $72+18=90$ ma trận, tức có $90$ cách điền. Kết quả này khớp với công thức đếm đã biết cho số ma trận 4×4 0/1 với tổng hàng/cột bằng 2 là 90.