Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$. Gọi $M$, $N$, $P$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, $AD$. Biết rằng $BM$ và $NP$ vuông góc với nhau.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $A^{\prime }(0;0;h)$, $B^{\prime }(a;0;h)$, $C^{\prime }(a;a;h)$, $D^{\prime }(0;a;h)$. Khi đó $M\left(\frac{a}{2};0;h\right)$, $N\left(a;a;\frac{h}{2}\right)$, $P\left(0;\frac{a}{2};0\right)$. Điều kiện $BM\perp NP$: $\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{a}{2};0;h\right)$, $\overrightarrow{NP}=\left(-a;-\frac{a}{2};-\frac{h}{2}\right)$, tích vô hướng $=\frac{a^2}{2}-\frac{h^2}{2}=0\Rightarrow h=a$.

a) $\overrightarrow{MN}=\left(\frac{a}{2};a;-\frac{a}{2}\right)$, $\overrightarrow{MP}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};-a\right)$, pháp tuyến của $(MNP)$: $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}\propto (-1;1;1)$. Vì $(ABCD)$ có pháp tuyến $(0;0;1)$ nên $\cos \phi =\frac{|(-1;1;1)\cdot (0;0;1)|}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Đúng.

b) $\overrightarrow{BP}=\left(-a;\frac{a}{2};0\right)\propto (-2;1;0)$, $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}=\left(\frac{a}{2};a;0\right)\propto (1;2;0)$, $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}\times \overrightarrow{BP}=(0;0;5)$, $\overrightarrow{BM}=\left(-\frac{a}{2};0;a\right)$. $d(BP,M{C}^{\prime })=\frac{|\overrightarrow{BM}\cdot (0;0;5)|}{5}=\frac{5a}{5}=a\ne a\sqrt{2}$. Sai.

c) $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{a}{2};0;a\right)$, $\overrightarrow{AN}=(a;a;\frac{a}{2})$, $\overrightarrow{AP}=(0;\frac{a}{2};0)$, hỗn hợp $[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AP}]=\frac{3}{8}{a}^3$, nên $V_{AMNP}=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{8}{a}^3=\frac{a^3}{16}$. Đúng.

d) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{MP}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a}{2};-a\right)$, tích vô hướng $=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+0=0\Rightarrow$ góc giữa $AC$ và $MP$ bằng $90^{\circ }$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $(MNP)$ là $\vec{n}\propto (-1;1;1)$ nên $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto chỉ phương $(-2;1;0)$ và $(1;2;0)$, tính khoảng cách được $d=a\ne a\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V_{AMNP}=\frac{1}{6}\left|[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AP}]\right|=\frac{1}{6}\cdot \frac{3}{8}{a}^3=\frac{a^3}{16}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MP}=-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+0=0$ nên góc giữa $AC$ và $MP$ bằng $90^{\circ }$.