Cho hàm số $y=\frac{-4x^2+2x-6}{3-2x}$. Xét tính đúng-sai của các khẳng định sau.
a) Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\}$.
b) Đạo hàm của hàm số là $y^{\prime }=\frac{8x^2-24x-6}{(3-2x{)}^2}$.
c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là đường thẳng $x=\frac{3}{2}$.
d) Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm $I\left(\frac{3}{2};5\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{-4x^2+2x-6}{3-2x}$.
a) Điều kiện xác định: $3-2x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{3}{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{2}\right\}$; khẳng định a SAI.
b) $y^{\prime }=\frac{(-8x+2)(3-2x)-(-4x^2+2x-6)(-2)}{(3-2x{)}^2}$. Tính: $(-8x+2)(3-2x)=16x^2-28x+6$; $(-4x^2+2x-6)(-2)=8x^2-4x+12$. Hiệu: $16x^2-28x+6-(8x^2-4x+12)=8x^2-24x-6$. Vậy $y^{\prime }=\frac{8x^2-24x-6}{(3-2x{)}^2}$, khẳng định b ĐÚNG.
c) Tại $x=\frac{3}{2}$ mẫu bằng 0, tử $-4\cdot \frac{9}{4}+3-6=-12\ne 0$, nên tiệm cận đứng là $x=\frac{3}{2}$; khẳng định c ĐÚNG.
d) Phép chia: $-4x^2+2x-6=(2x+2)(3-2x)-12$, nên $y=2x+2-\frac{12}{3-2x}$. Đường thẳng $y=2x+2$ có tâm đối xứng tại mọi điểm trên nó, và $-\frac{12}{3-2x}$ đối xứng qua $x=\frac{3}{2}$, nên đồ thị có tâm đối xứng $I\left(\frac{3}{2};2\cdot \frac{3}{2}+2\right)=I\left(\frac{3}{2};5\right)$; khẳng định d ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $3-2x\ne 0\Rightarrow x\ne \frac{3}{2}$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}$, không phải loại $-\frac{3}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(-8x+2)(3-2x)-(-4x^2+2x-6)(-2)}{(3-2x{)}^2}=\frac{16x^2-28x+6-(8x^2-4x+12)}{(3-2x{)}^2}=\frac{8x^2-24x-6}{(3-2x{)}^2}$, trùng với khẳng định đã cho.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tại $x=\frac{3}{2}$ mẫu bằng 0, tử bằng $-12\ne 0$, nên $x=\frac{3}{2}$ là tiệm cận đứng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $y=2x+2-\frac{12}{3-2x}$, đồ thị có tâm đối xứng $I\left(\frac{3}{2};2\cdot \frac{3}{2}+2\right)=I\left(\frac{3}{2};5\right)$.