Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x^2-7x+12)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $g(x)=f(x^3-3x+m)$ có đúng 6 điểm cực trị?

Ta có:
$f^{\prime }(x)=0\iff (x-1{)}^2(x^2-7x+12)=0\iff [\begin{array}{rl}x& =1\\ x& =3\\ x& =4,\end{array}$
trong đó $x=1$ là nghiệm bội chẵn (bội 2), còn $x=3,x=4$ là các nghiệm đơn.

Xét hàm số $g(x)=f(x^3-3x+m)$, đạo hàm là:
$g^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x+m).$
Phương trình $g^{\prime }(x)=0$ tương đương:
$[\begin{array}{rl}3x^2-3& =0\\ x^3-3x+m& =1(1)\\ x^3-3x+m& =3(2)\\ x^3-3x+m& =4(3)\end{array}$
- Phương trình $3x^2-3=0\iff x=\pm 1$ có hai nghiệm đơn.
- Nghiệm của phương trình (1) là các nghiệm bội chẵn của $f^{\prime }(u)$ nên không làm đổi dấu $g^{\prime }(x)$ (không tạo thành cực trị).
- Do đó, số điểm cực trị của $g(x)$ bằng số nghiệm đơn (bội lẻ) phân biệt khác $\pm 1$ của hệ phương trình (2) và (3) cộng thêm 2 nghiệm $x=\pm 1$.
Để $g(x)$ có đúng 6 điểm cực trị thì hệ gồm hai phương trình:
$\{\begin{array}{l}{x}^3-3x=3-m\\ x^3-3x=4-m\end{array}$
phải có tổng cộng đúng 4 nghiệm đơn phân biệt khác $\pm 1$.

Xét hàm số $h(x)=x^3-3x$ với bảng biến thiên:



Từ bảng biến thiên, đồ thị hàm số $h(x)=x^3-3x$ có điểm cực đại $(-1;2)$ và cực tiểu $(1;-2)$.
Vì đường thẳng $y=4-m$ luôn nằm trên đường thẳng $y=3-m$ một khoảng đúng bằng 1 đơn vị, để tổng số giao điểm đơn của hai đường thẳng này với đồ thị $y=h(x)$ là 4 nghiệm đơn, ta có hai trường hợp:

**Trường hợp 1:** Đường thẳng $y=3-m$ có 1 giao điểm và đường thẳng $y=4-m$ có 3 giao điểm:
$\{\begin{array}{l}3-m\le -2\\ -2<4-m<2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}m\ge 5\\ 2<m<6\end{array}\iff 5\le m<6.$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m=5$.

**Trường hợp 2:** Đường thẳng $y=3-m$ có 3 giao điểm và đường thẳng $y=4-m$ có 1 giao điểm:
$\{\begin{array}{l}-2<3-m<2\\ 4-m\ge 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}1<m<5\\ m\le 2\end{array}\iff 1<m\le 2.$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m=2$.

Tổng kết lại, có 2 giá trị nguyên dương của $m$ thỏa mãn là $m\in \{2;5\}$.

Chọn đáp án C.