Cho hàm số $y=f(x)=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$, $x\ne -m$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+m)(x+m)-(x^2+mx+1)}{(x+m{)}^2}=\frac{x^2+2mx+m^2-1}{(x+m{)}^2}=\frac{(x+m{)}^2-1}{(x+m{)}^2}$.

a) Khi $m=0$: $y=x+\frac{1}{x}$ trên $(0;+\infty )$, theo AM–GM $y\ge 2$ với min $=2$ tại $x=1$, không phải $-2$ → Sai.

b) $f^{\prime }(x)=0\iff x=-m\pm 1$, hai nghiệm phân biệt và đều khác $-m$ (điểm không xác định), nên hàm số luôn có 2 cực trị → Đúng.

c) Trên $(-m;+\infty )$: $f^{\prime }<0$ khi $-m<x<-m+1$, $f^{\prime }>0$ khi $x>-m+1$ nên min tại $x=-m+1$: $f(-m+1)=\frac{(-m+1{)}^2+m(-m+1)+1}{1}=2-m$. Trên $(-\infty ;-m)$: max tại $x=-m-1$: $f(-m-1)=\frac{(m+1{)}^2-m(m+1)+1}{-1}$... tính lại: mẫu $=(m+1{)}^2-m(m+1)+1=m+2$, mẫu số $=-1$, vậy $f(-m-1)=-(m+2)=-m-2$. Khi đó $\min -\max =(2-m)-(-m-2)=4-2m$, chỉ bằng $4$ khi $m=0$, không phải với mọi $m$ → Sai.

d) Với $m=-3$: $f(x)=\frac{x^2-3x+1}{x-3}$, $f^{\prime }(x)=\frac{(x-3{)}^2-1}{(x-3{)}^2}$; trên $[-1;2]$ (nội suy $(2;4)$) có $f^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến, max tại $x=2$: $f(2)=\frac{4-6+1}{-1}=-1\ne 1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=0$, $y=x+1/x\ge 2$ trên $(0;+\infty )$, min $=2$ chứ không phải $-2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{(x+m{)}^2-1}{(x+m{)}^2}=0$ có hai nghiệm $x=-m\pm 1$ phân biệt, đều khác $-m$, nên luôn có 2 cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\min }_{(-m;+\infty )}y=2-m$ (tại $x=-m+1$), ${\max }_{(-\infty ;-m)}y=-m-2$ (tại $x=-m-1$), hiệu bằng $4-2m$, chỉ bằng 4 khi $m=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-3$, hàm đồng biến trên $[-1;2]$ nên max $=f(2)=-1\ne 1$.