Cho hàm số $y=\frac{mx+6}{x+m+1}$ với $m$ là tham số.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x+m+1\ne 0\Rightarrow D=\mathbb{R}\setminus \{-m-1\}$, câu a đúng. Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{m(x+m+1)-(mx+6)}{(x+m+1{)}^2}=\frac{m^2+m-6}{(x+m+1{)}^2}$, nên câu c sai (đề đưa $-m^2-m+6$ là sai dấu). Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi $y^{\prime }<0\iff m^2+m-6<0\iff -3<m<2$, các giá trị nguyên $m\in \{-2,-1,0,1\}$: 4 giá trị, câu b đúng. Với $m=4$: $y^{\prime }=\frac{16+4-6}{(x+5{)}^2}=\frac{14}{(x+5{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định, câu d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm xác định khi $x+m+1\ne 0$, tức $x\ne -m-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{m^2+m-6}{(x+m+1{)}^2}<0\iff -3<m<2$, có 4 giá trị nguyên $m\in \{-2,-1,0,1\}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tính đúng $y^{\prime }=\frac{m^2+m-6}{(x+m+1{)}^2}$; đề đưa $-m^2-m+6$ là sai dấu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=4$, $y^{\prime }=\frac{14}{(x+5{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên mỗi khoảng xác định.