Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, góc giữa $SB$ và $AC$ bằng $60^0$, $AB=6$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $BC=AB=6$ (vuông cân tại $B$), suy ra $AC=6\sqrt{2}$, $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 6=18$. Gọi $h=SA$. Hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ là $AB$; góc giữa $SB$ và $AC$ là góc giữa $\overrightarrow{BS}$ và vecto chỉ phương của $AC$. Chọn tọa độ $B(0;0;0),A(6;0;0),C(0;6;0),S(6;0;h)$: $\overrightarrow{BS}=(6;0;h)$, $\overrightarrow{AC}=(-6;6;0)$, nên $\cos (SB,AC)=\frac{36}{\sqrt{36+h^2}\cdot 6\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}\sqrt{36+h^2}}$. Theo đề góc bằng $60^{\circ }$: $\frac{6}{\sqrt{2}\sqrt{36+h^2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \sqrt{36+h^2}=6\sqrt{2}\Rightarrow h^2=36\Rightarrow h=6$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot 18\cdot 6=36$. Kiểm tra: với $h=6$, $\cos =\frac{6}{\sqrt{2}\cdot 6\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, đúng góc $60^{\circ }$.