Cho hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x-1}{x-1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$ (mẫu khác 0) nên a đúng. $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-1)-(x^2+x-1)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1{)}^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=2$, đều thuộc tập xác định, qua mỗi điểm đạo hàm đổi dấu nên hàm số có hai điểm cực trị: cực tiểu $(0;1)$, cực đại $(2;5)$ → b đúng, d đúng. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$ hoặc $x>2$; $y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$ ($x\ne 1$). Do đó trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến, không đồng biến → c sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mẫu số $x-1\ne 0\Rightarrow x\ne 1$, nên $D=\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}=0$ tại $x=0,x=2$; đạo hàm đổi dấu qua mỗi điểm nên có hai điểm cực trị.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }<0$ khi $0<x<2$ ($x\ne 1$), nên hàm số nghịch biến trên $(0;1)$, không đồng biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=2$; $y(2)=\frac{4+2-1}{1}=5$, nên điểm cực đại là $(2;5)$.