Cho hàm số $y=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x+\frac{2}{3}$ có đồ thị $(C)$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, đổi dấu + → − tại $x=1$ và − → + tại $x=3$ nên hàm có hai điểm cực trị. a) Đúng. b) Sai: $x=3$ là hoành độ điểm cực tiểu, không phải giá trị cực tiểu (giá trị cực tiểu $y(3)=\frac{2}{3}$). c) Đúng: cực đại tại $x=1$. d) Sai: $y(1)=\frac{1}{3}-2+3+\frac{2}{3}=2$, $y(3)=9-18+9+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$; khoảng cách $=\sqrt{(3-1{)}^2+{\left(2-\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{16}{9}}=\frac{2\sqrt{13}}{3}\ne \frac{\sqrt{13}}{13}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=(x-1)(x-3)$ có hai nghiệm đơn đổi dấu nên hàm có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x=3$ là hoành độ điểm cực tiểu; giá trị cực tiểu là $y(3)=\frac{2}{3}$, không phải $x=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang − tại $x=1$ nên điểm cực đại có hoành độ $x=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(1;2)$ và $(3;\frac{2}{3})$, khoảng cách $=\frac{2\sqrt{13}}{3}\ne \frac{\sqrt{13}}{13}$.