Cho hàm số $y=\frac{x+3}{x+m}$ (tham số $m$). Khi đó:

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+m)-(x+3)}{(x+m{)}^2}=\frac{m-3}{(x+m{)}^2}$.
a) $m=1$: $y^{\prime }=-\frac{2}{(x+1{)}^2}<0$ trên các khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$ → hàm nghịch biến trên các khoảng đó → đúng.
b) $m=4$: $y^{\prime }=\frac{1}{(x+4{)}^2}>0$ → hàm đồng biến trên các khoảng xác định, không nghịch biến → sai.
c) Nghịch biến trên $(-\infty ;-6)$ cần $y^{\prime }<0$ trên khoảng này, tức $m-3<0\iff m<3$ (khi đó $x=-m\le -3$... thực tế với $m<3$, $-m>-3>-6$ nên $x=-m\notin (-\infty ;-6)$, hàm xác định trên khoảng). Tập đúng là $(-\infty ;3)$, không phải $(3;6]$ → sai.
d) Đồng biến trên $(-\infty ;-6)$ cần $y^{\prime }>0$: $m>3$; và hàm phải xác định trên khoảng: $x=-m\notin (-\infty ;-6)\iff -m\ge -6\iff m\le 6$. Lưu ý $m=6$ vẫn thỏa vì $x=-6$ không thuộc khoảng mở $(-\infty ;-6)$. Vậy $m\in (3;6]$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=1$, $y^{\prime }=-\frac{2}{(x+1{)}^2}<0$ trên mỗi khoảng xác định nên hàm nghịch biến trên các khoảng đó.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=4$, $y^{\prime }=\frac{1}{(x+4{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên các khoảng xác định.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m-3<0\iff m<3$; tập đúng là $(-\infty ;3)$, không phải $(3;6]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m>3$ và $-m\ge -6\iff m\le 6$ (với $m=6$, điểm $x=-6$ không thuộc khoảng mở $(-\infty ;-6)$). Vậy $m\in (3;6]$.