Cho hàm số $y=\frac{-x^2+x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $-x^2+x+1=(x+1)(-x+2)-1$ nên $y=-x+2-\frac{1}{x+1}$, $y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$... kiểm tra lại: $\frac{1}{(x+1{)}^2}-1=\frac{1-(x+1{)}^2}{(x+1{)}^2}=\frac{-x(x+2)}{(x+1{)}^2}$. Trên $(-2;-1)$ và $(-1;0)$: $-x(x+2)>0$ nên $y^{\prime }>0$, hàm đồng biến trên hai khoảng đó → a đúng. $y^{\prime }=0$ tại $x=0$ và $x=-2$, nhưng $x=-2,0$ đều thuộc miền xác định... thực ra $y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=0$, hai điểm này là cực trị (đạo hàm đổi dấu quanh mỗi điểm, trong từng khoảng liên thông). Vậy hàm có hai điểm cực trị → b đúng. Cắt Ox: $-x^2+x+1=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$, đều khác $-1$ → đồ thị cắt Ox tại hai điểm → c sai. Tiệm cận xiên $y=-x+2$; tại $x=1$ có $y=1\ne 2$ nên không qua $A(1;2)$ → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-1+\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{-x(x+2)}{(x+1{)}^2}>0$ với $x\in (-2;-1)\cup (-1;0)$, nên hàm đồng biến trên hai khoảng đó.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0$ tại $x=-2$ và $x=0$; đạo hàm đổi dấu quanh mỗi điểm (dương trên $(-2;-1)$, âm trên $(-\infty ;-2)$, âm trên $(0;+\infty )$... cụ thể $y^{\prime }<0$ khi $x<-2$ hoặc $x>0$), nên hàm có hai điểm cực trị: cực tiểu $x=-2$, cực đại $x=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình $-x^2+x+1=0$ có hai nghiệm $x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$, đều khác $-1$, nên $(C)$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận xiên là $y=-x+2$; tại $x=1$ đường này có $y=1\ne 2$, nên nó không đi qua $A(1;2)$.