Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ với $a,b,c\in \mathbb{R}$ có đồ thị là hình bên dưới

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận ngang $y=-1$, đồ thị đi qua $(0;-2)$ và cắt Ox tại $(2;0)$. Suy ra $c+d=0$, $\frac{a}{c}=-1$, $\frac{b}{d}=-2$, và $2a+b=0$. Chọn $d=1$ thì $c=-1$, $a=1$, $b=-2$: $y=\frac{x-2}{-x+1}=\frac{2-x}{x-1}$ (thỏa mọi điểm trên đồ thị). a) $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(2-x)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$, nên hàm số nghịch biến trên cả hai khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ → khẳng định a SAI. b) Tiệm cận đứng $x=1$ → ĐÚNG. c) Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=-1$ → ĐÚNG. d) Với bộ số đã chọn $a+b+c=1-2-1=-2\ne 5$ (và tổng này phụ thuộc phép nhân cả tử và mẫu với cùng hằng số, không xác định duy nhất bằng 5) → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $y=\frac{2-x}{x-1}$, khi đó $y^{\prime }=\frac{-(x-1)-(2-x)}{(x-1{)}^2}=\frac{-1}{(x-1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne 1$. Vậy hàm số nghịch biến trên cả $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$, do đó khẳng định "đồng biến trên $(-\infty ;1)$" là SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
mẫu số $x-1=0$ tại $x=1$ và $y\to \pm \infty$ khi $x\to 1^{\pm }$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ → ĐÚNG.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2-x}{x-1}=-1$, nên tiệm cận ngang là $y=-1$, đúng theo đồ thị → ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=1$ nên $c+d=0$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=-1$; đồ thị đi qua $(0;-2)$ nên $\frac{b}{d}=-2$ và qua $(2;0)$ nên $2a+b=0$. Chọn $d=1$ thì $c=-1$, $a=1$, $b=-2$: $y=\frac{x-2}{-x+1}=\frac{2-x}{x-1}$ (thỏa mọi dữ kiện đồ thị). Khi đó $a+b+c=1-2-1=-2\ne 5$. Ngoài ra tổng $a+b+c$ phụ thuộc việc nhân cả tử và mẫu với cùng hằng số nên không xác định duy nhất bằng 5 → SAI.