Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $E$ và $F$ là 2 điểm thỏa $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}$. Khi đó $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AF}$. Vậy k =?

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{BC}$. Khi đó $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$. Ta có $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{3}\overrightarrow{v}$. Và $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u})=\frac{3}{4}\overrightarrow{u}+\frac{1}{4}\overrightarrow{v}$. Giả sử $\overrightarrow{AE}=k\overrightarrow{AF}$, so sánh hệ số theo $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ (hai vectơ độc lập tuyến tính): $1=\frac{3}{4}k\Rightarrow k=\frac{4}{3}$ và $\frac{1}{3}=\frac{1}{4}k\Rightarrow k=\frac{4}{3}$. Hai điều kiện cho cùng kết quả, vậy $\overrightarrow{AE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AF}$, tức $k=\frac{4}{3}$, khớp với đáp án đã cho.