Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có độ dài cạnh bên bằng $2a$. Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Góc giữa cạnh bên và đáy của hình chóp bằng góc $\widehat{SOA}$, không phải $\widehat{OSA}$. Vậy a) Sai.

b) Từ $d(O,(SAB))=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ có hai trường hợp $AB=2a$ (thể tích $\frac{4\sqrt{2}}{3}{a}^3$) và $AB=\frac{4\sqrt{3}}{3}a$ (thể tích $\frac{32\sqrt{3}}{27}{a}^3$). Vậy b) Sai.

c) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD$ là $OI=\frac{a\sqrt{6}}{2}$, không bằng $a$. Vậy c) Sai.

d) Thể tích lớn nhất bằng $\frac{32\sqrt{3}{a}^3}{27}$ khi $\alpha =\frac{\pi }{4}$. Vậy d) Đúng.
a) Góc giữa cạnh bên và đáy của hình chóp bằng góc $\widehat{SOA}$. Khẳng định Sai.
b) Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Kẻ $OH\perp SM$ $(H\in SM)$. Ta có $AB\perp OM;AB\perp SO\Rightarrow AB\perp (SOM)\Rightarrow AB\perp OH$. Mà $OH\perp SM$ nên suy ra $OH\perp (SAB)\Rightarrow d(O,(SAB))=OH=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Ta có: $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{S{O}^2}=\frac{4}{A{B}^2}+\frac{1}{S{A}^2-\frac{A{B}^2}{2}}\Rightarrow \left[\begin{array}{c}AB=2a\\ AB=\frac{4\sqrt{3}}{3}a\end{array}\right]$. + Với $AB=2a\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=a\sqrt{2}$. $$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{4\sqrt{2}}{3}{a}^3.$$ + Với $AB=\frac{4\sqrt{3}}{3}a\Rightarrow SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$. $$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{32\sqrt{3}}{27}{a}^3.$$ Khẳng định Sai (do có hai giá trị thể tích thỏa mãn).
c) Gọi $E,F$ lần lượt là trung điểm của $CD,SO$. Tam giác $OCD$ vuông cân tại $O$ nên $E$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OCD$. Kẻ $Ex\parallel SO$. Khi đó $Ex$ là trục của đường tròn ngoại tiếp $\Delta OCD$. Mặt phẳng trung trực của $SO$ cắt $Ex$ tại $I$. Khi đó $IS=IO=IC=ID$ nên $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD$. Ta có: $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=a\sqrt{2}$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD$ là $R=IO=\sqrt{\frac{S{O}^2}{4}+O{E}^2}=\sqrt{\frac{2a^2}{4}+a^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Khẳng định Sai.
d) Theo câu 2, ta có $SH$ là hình chiếu của $SO$ lên mặt bên $(SAB)$ nên suy ra góc giữa $SO$ và mặt bên là $\widehat{OSH}=\widehat{OSM}=\alpha$. Ta có: $AM=OM=SM.\sin \alpha$; $S{A}^2=S{M}^2+A{M}^2\iff 4a^2=S{M}^2+S{M}^2.{\sin }^2\alpha =S{M}^2\left(1+{\sin }^2\alpha \right)$. Suy ra $SM=\frac{2a}{\sqrt{1+{\sin }^2\alpha }}\Rightarrow OM=\frac{2a.\sin \alpha }{\sqrt{1+{\sin }^2\alpha }};SO=SM.\cos \alpha =\frac{2a.\cos \alpha }{\sqrt{1+{\sin }^2\alpha }}$ $$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{32a^3}{3}.\frac{\cot \alpha }{\sqrt{{\left(2+{\cot }^2\alpha \right)}^3}}.$$ $V_{S.ABCD}$ lớn nhất khi $\frac{\cot \alpha }{\sqrt{{\left(2+{\cot }^2\alpha \right)}^3}}\max \iff \frac{{\cot }^2\alpha }{{\left(2+{\cot }^2\alpha \right)}^3}\max$ (với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$). Ta có: $$\frac{{\cot }^2\alpha }{{\left(2+{\cot }^2\alpha \right)}^3}=\frac{{\cot }^2\alpha }{2+{\cot }^2\alpha }.\frac{1}{2+{\cot }^2\alpha }.\frac{1}{2+{\cot }^2\alpha }\le \frac{1}{27}{\left(\frac{{\cot }^2\alpha }{2+{\cot }^2\alpha }+\frac{1}{2+{\cot }^2\alpha }+\frac{1}{2+{\cot }^2\alpha }\right)}^3=\frac{1}{27}$$ Đẳng thức xảy ra khi $\frac{{\cot }^2\alpha }{2+{\cot }^2\alpha }=\frac{1}{2+{\cot }^2\alpha }\iff \alpha =\frac{\pi }{4}$. Khi đó, $\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{32a^3}{9\sqrt{3}}=\frac{32\sqrt{3}{a}^3}{27}$. Khẳng định đúng.