Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $SA=AB$, $SA\perp (ABC)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB$, $K$ là trung điểm cạnh $AC$.

a) Chứng minh $△SBC$ vuông.

b) Chứng minh $AB\perp HK$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Vì $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (đường thẳng $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA,AB$ trong mặt phẳng $(SAB)$). Suy ra $BC\perp SB$, tức $△SBC$ vuông tại $B$.

b) Trong tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AB$), $H$ là chân đường cao hạ từ $A$ xuống $SB$ nên $AH\perp SB$. Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với đường cao $AH$: $△ABH$ vuông tại $H$ đồng dạng $△SAB$ vuông tại $A$ (chung góc $B$), suy ra $\frac{HB}{AB}=\frac{AB}{SB}$, tức $HB\cdot SB=A{B}^2$.

Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AC$), $K$ là trung điểm $AC$ nên $K$ là trực tâm... chính xác hơn: $K$ là trung điểm cạnh huyền $AC$ của tam giác vuông $SAC$, do đó $KA=KS=KC$. Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $H$ là chân đường cao: $HA=HS$ không đúng nói chung; thay vào đó dùng tích vô hướng.

Cách gọn: Chọn hệ trục với $A$ gốc, $\overrightarrow{AB}$ trục. Ta có $\overrightarrow{HK}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AB}$... Cụ thể: $\overrightarrow{HK}\cdot \overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AK}-\overrightarrow{AH})\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AB}$. Vì $AB\perp AC$ nên $\overrightarrow{AK}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ (vì $K$ thuộc $AC$). Vì $AH\perp SB$ nên $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{SB}=0$, tức $\overrightarrow{AH}\cdot (\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{SA})=0$... dùng $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{HB}$; mà $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{HB}=0$ (vì $AH\perp SB$ chứa $HB$) và $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{SA}=0$ (vì $SA\perp (ABC)$ chứa $AH$). Vậy $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AB}=0$, do đó $\overrightarrow{HK}\cdot \overrightarrow{AB}=0-0=0$, tức $HK\perp AB$ (đpcm).