Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông tại B có $AB=a$, $BC=2a$, và $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, biết góc tạo bởi SB và đáy bằng $60^{\circ }$.
1. Tính thể tích của khối chóp.
2. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng $(ABC)$.
3. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$.
4. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$.
5. Tính khoảng cách từ A đến SB.
6. Tính khoảng cách từ A đến $(SCB)$.
7. Tính khoảng cách giữa hai đường SA và BC.
8. Tính khoảng cách giữa hai đường AC và SB.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ trục: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,2a,0), S(0,0,a√3) vì góc giữa SB và đáy là góc SBA = 60° nên SA = AB·tan60° = a√3; AC = a√5, SB = 2a, SC = 2√2a.
1) $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\cdot 2a}{2}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.
2) Góc giữa SC và (ABC) là góc SCA: $\tan \alpha =\frac{SA}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$, $\alpha =\arctan \frac{\sqrt{15}}{5}\approx 37^{\circ },8^{\prime }$.
3) Vì SA⊥(ABC) nên BC⊥SA, mà BC⊥AB ⇒ BC⊥(SAB) ⇒ BC⊥SB. Góc giữa (ABC) và (SBC) là góc SBA = 60°.
4) Giao tuyến SC. Vector pháp tuyến: (SAC): ${\vec{n}}_1=(2,-1,0)$; (SBC): ${\vec{n}}_2=(\sqrt{3},0,1)$. $\cos \phi =\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{5}\cdot 2}=\frac{\sqrt{15}}{5}\approx 0,7746$, $\phi \approx 39^{\circ },2^{\prime }$.
5) Trong tam giác vuông SAB: $d(A,SB)=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
6) Diện tích tam giác SBC = 2a² (cân SB=SC? thực tế SB=2a, SC=2√2a, BC=2a, cân tại B, đường cao √2a). $d(A,(SBC))=\frac{3V}{S_{SBC}}=\frac{a^3\sqrt{3}}{2a^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
7) BC⊥SA và BC⊥AB ⇒ BC⊥(SAB), khoảng cách giữa SA và BC bằng d(B,SA) trong (SAB) = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
8) $\overrightarrow{AC}=(a,2a,0)$, $\overrightarrow{SB}=(a,0,-a\sqrt{3})$, pháp tuyến chung $\vec{n}=\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{SB}=(-2\sqrt{3},\sqrt{3},-2)a^2$, $|\vec{n}|=\sqrt{19}{a}^2$; lấy $\overrightarrow{AB}=(a,0,0)$: $d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{2\sqrt{3}a}{\sqrt{19}}=\frac{2\sqrt{57}}{19}a$.