Giải các bất phương trình sau:
a) ${\log }_2(x+1)<3$; b) $\log (3-2x)\ge \log (x+1)$; c) ${\log }_{0,5}(x+1)>{\log }_{0,5}2x$;
d) ${\log }_2\left(x^2-4x+6\right)>1$ e) $1+{\log }_2(x-2)>{\log }_2\left(x^2-3x+2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 5: Giải các bất phương trình lôgarit.

a) ${\log }_2(x+1)<3$. Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Với cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương $x+1<2^3=8\iff x<7$. Tập nghiệm: $S=(-1;7)$.

b) $\log (3-2x)\ge \log (x+1)$. Điều kiện: $3-2x>0$ và $x+1>0\iff -1<x<\frac{3}{2}$. Cơ số $10>1$ nên $3-2x\ge x+1\iff 2\ge 3x\iff x\le \frac{2}{3}$. Kết hợp: $S=\left(-1;\frac{2}{3}\right]$.

c) ${\log }_{0,5}(x+1)>{\log }_{0,5}(2x)$. Điều kiện: $x+1>0$ và $2x>0\iff x>0$. Cơ số $0,5<1$ nên hàm nghịch biến, bất phương trình tương đương $x+1<2x\iff x>1$. Kết hợp: $S=(1;+\infty )$.

d) ${\log }_2(x^2-4x+6)>1$. Biểu thức $x^2-4x+6=(x-2{)}^2+2>0$ với mọi $x$ (vì $\Delta =16-24<0$), nên điều kiện luôn thỏa. Với cơ số $2>1$: $x^2-4x+6>2\iff x^2-4x+4>0\iff (x-2{)}^2>0\iff x\ne 2$. Tập nghiệm: $S=\mathbb{R}\setminus \{2\}$.

e) $1+{\log }_2(x-2)>{\log }_2(x^2-3x+2)$. Điều kiện: $x-2>0$ và $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)>0\iff x>2$ (hoặc $x<1$, loại do $x>2$). Viết $1={\log }_{2}2$: ${\log }_2(2(x-2))>{\log }_2((x-1)(x-2))$. Cơ số $2>1$: $2(x-2)>(x-1)(x-2)$. Vì $x-2>0$, chia hai vế: $2>x-1\iff x<3$. Kết hợp: $S=(2;3)$.

Kiểm tra lại: e) tại $x=2,5$: $1+{\log }_{2}0,5=0$, ${\log }_2(0,75)<0$, thỏa; tại $x=3,5$: $1+{\log }_{2}1,5>1$, ${\log }_2(3,75)\approx 1,91$, $1,585<1,91$ không thỏa — đúng.