Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=7cm$; $AB=3cm$, $AC=6cm$, $\widehat{BAC}=120^0$. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng bao nhiêu xăng-ti-mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 120^0=9+36+18=63\Rightarrow BC=3\sqrt{7}$.

Diện tích $△ABC$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6\cdot \sin 120^0=\frac{9\sqrt{3}}{2}$.

Vì $SA=SB=SC=7$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $△ABC$, bán kính $R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{3\sqrt{7}}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{21}$.

Khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$: $h=\sqrt{S{A}^2-R^2}=\sqrt{49-21}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{7}=3\sqrt{21}$.

Diện tích $△SAB$ (cân tại $S$, $SA=SB=7$, $AB=3$): đường cao $=\sqrt{49-\frac{9}{4}}=\frac{\sqrt{187}}{2}$, nên $S_{SAB}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{187}}{2}=\frac{3\sqrt{187}}{4}$.

Khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$: $d=\frac{3V}{S_{SAB}}=\frac{9\sqrt{21}}{\frac{3\sqrt{187}}{4}}=\frac{12\sqrt{21}}{\sqrt{187}}=12\sqrt{\frac{21}{187}}\approx 4.02$ cm.