Cho hình chóp có là hình chữ nhật cạnh và là giao điểm hai đường chéo, biết các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và góc nhị diện . Gọi là trung điểm . Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là . Tính giá trị của .
Cho hình chóp có là hình chữ nhật cạnh và là giao điểm hai đường chéo, biết các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và góc nhị diện . Gọi là trung điểm . Biết khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là . Tính giá trị của .
Đáp án chính thức: 4
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Vì các cạnh bên bằng nhau nên S nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại O (tâm hình chữ nhật). Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(16a,0,0), D(0,b,0), C(16a,b,0), S(8a, b/2, h). Góc nhị diện [O, DA, S] là góc giữa mặt đáy và mặt (SAD) theo cạnh DA: hình chiếu của S lên DA là K(0, b/2, 0), nên tan30° = h/8a ⇒ h = 8a/√3. Mặt phẳng (SBC): vecto pháp tuyến SB×SC = (bh, 0, 8ab), phương trình: h(x−16a) + 8az = 0 (không phụ thuộc b). M là trung điểm SA: M(4a, b/4, h/2). Khoảng cách d(M,(SBC)) = |h(4a−16a)+8a·h/2| / √(h²+64a²) = 8ah/√(h²+64a²). Với h = 8a/√3: √(h²+64a²) = 8a√(1/3+1) = 16a/√3, nên d = 8a·(8a/√3)/(16a/√3) = 4a. Vậy m = 4.
Vì các cạnh bên bằng nhau nên S nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy tại O (tâm hình chữ nhật). Chọn hệ trục: A(0,0,0), B(16a,0,0), D(0,b,0), C(16a,b,0), S(8a, b/2, h). Góc nhị diện [O, DA, S] là góc giữa mặt đáy và mặt (SAD) theo cạnh DA: hình chiếu của S lên DA là K(0, b/2, 0), nên tan30° = h/8a ⇒ h = 8a/√3. Mặt phẳng (SBC): vecto pháp tuyến SB×SC = (bh, 0, 8ab), phương trình: h(x−16a) + 8az = 0 (không phụ thuộc b). M là trung điểm SA: M(4a, b/4, h/2). Khoảng cách d(M,(SBC)) = |h(4a−16a)+8a·h/2| / √(h²+64a²) = 8ah/√(h²+64a²). Với h = 8a/√3: √(h²+64a²) = 8a√(1/3+1) = 16a/√3, nên d = 8a·(8a/√3)/(16a/√3) = 4a. Vậy m = 4.