Tính thể tích hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, biết hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $AB=SA=a$, $SO=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(SAC)\cap (SBD)=SO$ và cả hai mặt phẳng cùng vuông góc với $(ABCD)$ nên $SO\perp (ABCD)$, tức $SO$ là chiều cao của chóp. Tam giác $SOA$ vuông tại $O$: $OA=\sqrt{S{A}^2-S{O}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2a^2}{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$, suy ra $AC=\frac{2a}{\sqrt{3}}$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ (hai đường chéo hình thoi vuông góc): $OB=\sqrt{A{B}^2-O{A}^2}=\sqrt{a^2-\frac{a^2}{3}}=a\sqrt{\frac{2}{3}}$, suy ra $BD=2a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD=\frac{1}{2}\cdot \frac{2a}{\sqrt{3}}\cdot \frac{2a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{2a^2\sqrt{2}}{3}$. Thể tích $V=\frac{1}{3}\cdot SO\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}\cdot \frac{2a^2\sqrt{2}}{3}=\frac{2a^3\sqrt{12}}{27}=\frac{4a^3\sqrt{3}}{27}$.