Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AD=3AM$. Gọi $G,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,ABC$. Chứng minh rằng hai đường thẳng $MN,NG$ lần lượt song song với các mặt phẳng $(SCD),(SAC)$.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh bằng vectơ.

1) MN song song với (SCD):

Vì $AD=3AM$ nên $AM=\frac{1}{3}AD$. Gọi $O$ là trung điểm của $BC$; vì $N$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $N$ thuộc trung tuyến $AO$ với $AN=\frac{2}{3}AO$.

Ta có:
$$\overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}.$$
Do đó:
$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$$
Suy ra $MN\parallel AB$. Mà $AB\parallel DC$ (vì $ABCD$ là hình bình hành) nên $MN\parallel DC$.

Vì $DC\subset (SCD)$ và $M\notin (SCD)$ (do $M$ thuộc $AD$ với $M\ne D$), theo định lý đường thẳng song song với mặt phẳng ta có:
$$MN\parallel (SCD).$$

2) NG song song với (SAC):

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$ nên:
$$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AB}\right).$$
Do đó:
$$\overrightarrow{NG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AS}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right).$$
Vì $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ nên:
$$\overrightarrow{NG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AS}-\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{CS}.$$
Suy ra $NG\parallel CS$.

Vì $CS\subset (SAC)$ và $N\notin (SAC)$ (vì $N$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ và không nằm trên $AC$), nên:
$$NG\parallel (SAC).$$

Vậy hai đường thẳng $MN,NG$ lần lượt song song với các mặt phẳng $(SCD),(SAC)$. Đpcm.