Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=1,AD=\sqrt{10},SA=SB,SC=SD$. Biết mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ vuông góc nhau đồng thời tổng diện tích của hai tam giác $\Delta SAB$ và $\Delta SCD$ bằng 2. Thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng:

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Vì $\Delta SAB$ cân tại $S$ nên $SM\perp AB$. Vì $\Delta SCD$ cân tại $S$ nên $SN\perp CD$. Đoạn $MN=AD=\sqrt{10}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $SN$, do đó tam giác $SMN$ vuông tại $S$. Ta có $S{M}^2+S{N}^2=M{N}^2=10$. Mặt khác, tổng diện tích hai tam giác: $S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SCD}=\frac{1}{2}AB\cdot SM+\frac{1}{2}CD\cdot SN=\frac{1}{2}(SM+SN)=2\Rightarrow SM+SN=4$. Khi đó $2SM\cdot SN=(SM+SN{)}^2-(S{M}^2+S{N}^2)=16-10=6\Rightarrow SM\cdot SN=3$. Chiều cao kẻ từ $S$ xuống đáy $MN$ là $h=\frac{SM\cdot SN}{MN}=\frac{3}{\sqrt{10}}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot AD=1\cdot \sqrt{10}=\sqrt{10}$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\sqrt{10}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn A.