Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với . Biết tam giác là tam giác cân tại , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng . Tính khoảng cách từ đến .
Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật với . Biết tam giác là tam giác cân tại , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và có diện tích bằng . Tính khoảng cách từ đến .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
(AI giải đề cho tôi)
Gọi H là trung điểm AB. Vì tam giác SAB cân tại S nên SH ⊥ AB; mặt (SAB) ⊥ đáy nên SH ⊥ (ABCD). Diện tích: (1/2)·AB·SH = (1/2)·a√2·SH = a²√6/6 ⇒ SH = a√3/3. Tọa hóa: A(0,0,0), B(a√2,0,0), D(0,2a,0), S(a√2/2,0,a√3/3). Vectơ pháp tuyến của (SBD): n = SB×SD với SB = (a√2/2, 0, −a√3/3), SD = (−a√2/2, 2a, −a√3/3) ⇒ n = (2a²√3/3, a²√6/3, a²√2), |n| = 2a². Khoảng cách từ A: d = |n·(A−B)|/|n| = (2a³√6/3)/(2a²) = a√6/3. Kiểm tra lại bằng thể tích: V(SABD) = (1/3)·S△ABD·SH = (1/3)·(a²√2)·(a√3/3) = a³√6/9; S△SBD = (1/2)|SB×SD| = a² ⇒ d = 3V/S = 3·(a³√6/9)/a² = a√6/3. Khớp.
Gọi H là trung điểm AB. Vì tam giác SAB cân tại S nên SH ⊥ AB; mặt (SAB) ⊥ đáy nên SH ⊥ (ABCD). Diện tích: (1/2)·AB·SH = (1/2)·a√2·SH = a²√6/6 ⇒ SH = a√3/3. Tọa hóa: A(0,0,0), B(a√2,0,0), D(0,2a,0), S(a√2/2,0,a√3/3). Vectơ pháp tuyến của (SBD): n = SB×SD với SB = (a√2/2, 0, −a√3/3), SD = (−a√2/2, 2a, −a√3/3) ⇒ n = (2a²√3/3, a²√6/3, a²√2), |n| = 2a². Khoảng cách từ A: d = |n·(A−B)|/|n| = (2a³√6/3)/(2a²) = a√6/3. Kiểm tra lại bằng thể tích: V(SABD) = (1/3)·S△ABD·SH = (1/3)·(a²√2)·(a√3/3) = a³√6/9; S△SBD = (1/2)|SB×SD| = a² ⇒ d = 3V/S = 3·(a³√6/9)/a² = a√6/3. Khớp.